Matemolivares

No se cansa uno de admirarla. Y algunos se preguntarán ¿pero qué tiene de especial algo tan simple? Ahí está la clave. Su simplicidad. Esa es la belleza. Simplemente una torre. No necesitaba adornos, ni celosías, ni mocárabes, ni…. Sólo un cilindro útil. Y eso es lo que tenemos. Erguida en lo alto de unos riscos, con caída al mar, se alza esta belleza geométrica inigualable. Se trata de la Torre del Pirulico, en Mojácar (Almería) ¿Qué dirían los habitantes de la zona en la época de su construcción, allá por los siglos XII al XIV, en la época nazarí? Seguramente que alteraba el paisaje, aparte de la labor para la que fue creada: la de vigilancia, y que en el siglo XVI se seguía utilizando para esos menesteres. Visualmente contactaba con la Torre del Rayo y formaba parte del sistema defensivo que iba desde Adra hasta Mojácar. Pero ¡¡qué bien armoniza en el lugar donde está!! No podía ser de otra forma: ni una de planta dodecagonal, como la Torre del Oro de Sevilla, ni una de planta cuadrada, como las torres almohades, desperdigadas por toda la península. No, no. Era un cilindro –quizás un tronco de cono, pero casi imperceptible- encajado totalmente en la naturaleza que le rodea –espléndida naturaleza: abrupta, casi desértica y agreste-. Maravillosa toda ella: la torre y sus alrededores. Muy cerca las playas de Macenas, Bordonares y el Sombrerico –un regalo de la Naturaleza a estos abnegados bañistas- nudistas o no- que realizan estas maratonianas caminatas –o en coche, por carriles- para fundirse en un abrazo indescriptible con la naturaleza.

En esta zona se rodó, en 1972, la película La Isla del tesoro de R.L.Stevenson, protagonizada por Orson Wells, de la que el chiringuito Manacá fue el fuerte creado para el rodaje, y que aún permanece en pie.

Las fotos atestiguan la belleza del lugar y podemos comprobar la restauración –que la ha salvado- llevada a cabo hace poco tiempo.

(Vistas desde la torre)

Si pasan por el lugar, no dejen de visitarla: la playa, la torre, el parque natural,…. Todo. Sencillamente extraordinario. Mis felicitaciones a los habitantes de la zona por haber conservado estos lugares para disfrute de todos, por su lucha por mantenerlo –aunque alguna batalla han perdido, han ganado muchas-, y por su afán de dejarle a sus descendientes una joya casi idéntica a la que les transmitieron sus antepasados. AMJ

(Foto de benru25 en Flickr).

Curioso. Visto en @pickover AMJ

Ecuación con foto; de @Pickover .AMJ

"There are times when silence is a poem."

"Hay veces que el silencio es un poema". John Fowles AMJ

Grabado medieval de Baldus de Ubaldis. ¡¡¡La espiral metida ahora en batallas!!! AMJ

Hoy 7 de Julio, San Fermín. Los que hemos disfrutado esta fiesta en Pamplona sabemos de su grandeza, del respeto al toro - ya lo quisiera para sí el caballo-, del buen rollo,.... En fin, la fiesta total. Podríamos llenar esta entrada de números, que los hay para todos los gustos, y ya sabemos que las matemáticas están por todos lados, pero les  dejamos con sólo los 846,9 metros del recorrido, que hoy, se han cubierto en 2min y 25 seg., a una media de 21 kms/h. y con una foto de P.Armestre -que más parece un cuadro de El Bosco-, considerada, posiblemente, la mejor del siglo. Véanla:

(Pinchen sobre ella para aumentarla)

Indescriptible. A los afortunados que están por allí: disfruten, ahora que pueden AMJ

La biblioteca Méjanes  en Aix-en-Provence  data de 1810, y se ha convertido últimamente en el centro de la Ciudad del libro.La traemos a este blog, especialmente, por su entrada. Por su extraña entrada. Extraña pero a la vez singular y única: pintoresca diría. Los tres libros que aparecen en la entrada son : El Principito de Antoine de Saint-Exupéry, El enfermo imaginario de Moliére y El extranjero de Albert Camus son tres grandes obras de prestigio universal, que la literatura francesa ha dado al mundo.

 La biblioteca ha pasado por altibajos: desde el abandono más absoluto hasta la opulencia más real, con grandes fondos  bibliográficos en su haber. Su web atestigua de su importancia en la vida cultural de la ciudad.
Curiosa y única. AMJ

La Basílica de Santa María del Fiore es la catedral de Florencia y una obra maestra de Gótico y primer Renacimiento italiano. La capital toscana, rica y poderosa en los siglos XIII y XIV, quiso superar a sus rivales regionales: Pisa y Siena. Diseñada en 1296 por Arnolfo di Cambio, tardó 170 años en construirse. La cúpula -una obra arquitectónica única- fue la que tardó más -para los florentinos el "cupolone"-.

El último concurso para su ejecución lo ganó Brunelleschi-un dominador de las matemáticas y la perspectiva lineal-: un diseño octogonal con doble emparedado (desconocido hasta el momento). Su construcción pesa 37.000 toneladas y fueron utilizados más de 4 millones de ladrillos. Fue la primera cúpula octogonal construida sin el soporte de un marco de madera. El tejado cónico fue terminado en 1469, con una capa  de cobre y una cruz –con reliquias-. Fue sustituida por otra más grande, en 1601, después de haber sido destruida por un rayo. Tiene una altura de 100 metros (interior) y 114,5 (exterior); 45,5 metros de diámetro exterior y 41 de diámetro interior. La cúpula es uno de los monumentos considerado como perfecto. Lo cierto es que en esa cúpula también trabajó Leonardo da Vinci -¡cómo no!-. Lo contamos. Leonardo, con 19 años, trabajaba con Verrocchio, que había recibido el encargo de Brunelleschi de construir y colocar una esfera de cobre, de 1800 kilos de peso y 2 metros de diámetro en la parte más alta de la linterna de la Catedral -a más de 100 metros del suelo-. Leonardo creó el proyecto para elevar la esfera hasta arriba.

                                                                                    (Dibujo de L. da Vinci)

Hasta 1887 no se terminó la fachada neogótica, en mármoles rojos, verdes y blancos; después de múltiples intentos por hacer una portada acorde a su importancia. La catedral, construida formando una cruz latina, presenta unas dimensiones enormes. Toda ella es una joya medieval: sus esculturas, pinturas, ventanas, rosetones,  vidrieras,…la conforman y participaron los arquitectos y artistas  más importantes de la época y algún que otro matemático-Toscanelli-.

El pavimento de la Basílica es una joya matemática. Las teselas en mármol policromado fueron diseñadas por Baccio d’Agnolo    elaborando un suelo “cosmatesco” -nombre proveniente de la familia de artesanos Los Cosmati-, llenando el templo de geometría, de bella geometría. Toscanelli, matemático él, ayudó a la construcción de la cúpula –a sus cálculos-, y construyó un gnomon –aún puede verse- para efectuar distintos cálculos astronómicos: horas del día, los puntos del solsticio,… incluso para cálculos cartográficos. Vean el vídeo del día 21 de Junio:  El rayo de sol se coloca en el suelo encima de la losa circular.

El reloj mantiene la “hora itálica”: el día dividido en 24 horas y una sola agujay otra peculiaridad: está dentro de la basílica; en vez de colocarlo en la fachada exterior de la iglesia, el obispo mandó colocarlo en lo alto de la nave central: ¡¡sería para que los florentinos entraran en la iglesia, aunque fuese para mirar la hora!! La hora itálica traía al relojero por la calle de la amargura. La hora 24 corresponde a la puesta de sol -no a la medianoche, como ahora- ; como la puesta de sol es cada día a una hora distinta, el relojero tenía que cambiar la hora: más de uno se descalabró con esas prisas, al ver la puesta de sol, corriendo a poner las 24 hors. ¡Qué lío!.

Lo cierto es que la magnitud de la obra de arte es tal que escapa a los derroteros de este blog, que estudia las influencias matemáticas en ella, y que como vemos, son innumerables. Sus constructores dominaban conocimientos matemáticos  y de ingeniería  a la altura de los artísticos. Sin duda.

En un próximo viaje a Italia no dejen de verla: disfruten de ella y de cuanto encierra, que no es poco.  Si pueden, suban los 463 escalones, y saquen la cabeza a 107 metros de altura y vean Florencia de otra manera; en la subida ver de cerca los frescos de la cúpula, de Vasari: una maravilla. No se arrepentirán. AMJ

Vean esta animación sobre la construcción de la cúpula:

O vean este vídeo sobre las excelencias de la Basílica:

El compuesto químico es el DDT, y el poema(una quintilla) es de D. D. Perrin profesor de Química Médica de la Universidad de Canberra(Australia). AMJ

 Se trata del siguiente problema: tenemos dos puntos a diferente altura; los conectamos por una rampa y dejamos caer una esfera –pelota- desde el punto más alto. ¿qué tipo de rampa debemos utilizar para que tarde el menor tiempo posible, bajando por su propio peso? Sabemos que el camino más corto es la línea recta, pero ¿será, igualmente, donde tardaremos menos tiempo? Pues no, no se trata de espacio, sino de tiempo. Ésta es la braquistócrona (del griego βραχίστος brachistos ’el más corto’, χρόνος chronos ’tiempo’), la curva del descenso más rápido. La curva  que es recorrida en menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial  con velocidad cero y sin rozamiento se desliza bajo la acción de la gravedad hasta llegar al segundo punto. En su solución intervinieron los hermanos Jacob y Johann Bernouilli –que al final fueron quienes resolvieron el problema-, L’Hôpital, Leibniz, Newton, entre otros.  En esta animación puede verse el resultado, comparando con varias trayectorias posibles:

La braquistócrona es precisamente la cicloide –invertida-, la curva generada por un punto de una circunferencia, cuando ésta gira sobre una recta sin deslizarse. En su estudio intervinieron desde Galileo hasta Fermat, pasando por Pascal, Leibniz o los Bernouilli. Esta curva además de ser braquistócrona, también es tautocrónica -si tenemos una cicloide que cuelga hacia abajo y dejamos caer esferas desde cualquier punto de ella, llegarán abajo a la misma vez-. Varias curiosidades en una misma curva:

 La demostración pueden verla en Wikipedia. En este enlace interactivo pueden crear cicloides a su antojo y comprobar las propiedades reseñadas: pcmap.unizar.es

En esta tabla (escrita por Bernouilli en Acta Eruditorim, en 1697)pueden ver las distintas explicaciones gráficas de los que intervinieron en la polémica, a finales del siglo XVII:

La resolución de este problema dio lugar a una nueva rama en el estudio de las Matemáticas: el Cálculo de Variaciones.  Sin duda curiosa e interesante. AMJ

En 1931 Albert Einstein hizo la segunda visita a EEUU. Aquí lo vemos con los indios Hopi. Pero los que organizaron el encuentro le entregaron una pipa de la paz y unas plumas, sin percartarse de que esas plumas no son de este grupo aborigen, sino de otro sin ninguna relación con ellos. ¡¡Parece más un Sioux que un Hopi!! ¡Fallo espectacular!  Algunos medios comentan que la visita no fue turística sino que el físico buscaba informaciones astronómicas o cósmicas, en un pueblo que poseía conocimientos muy avanzados y que A. Einstein quería comparar. AMJ

Este aparato que está en el museo Galileo Galilei de Florencia fue construido después de la muerte del astrónomo, allá por finales del siglo XVIII. Ya Galileo imaginó su uso, anteriormente, para probar que dos bolas rodando desde el extremo superior de dos rampas distintas, pero colocadas en un punto perteneciente al círculo, alcanzan el suelo al mismo tiempo. Distintos recorridos, distintas velocidades, pero igual tiempo.

Galileo lo demostró utilizando sus teorías del movimiento uniformemente acelerado. Incluso demostró que el tiempo es el mismo si se detiene en cualquier otra parte del círculo. Sorprendente  ¡ Hace 400 años! AMJ

Hoy 12 de Julio podremos observar una superluna llena. Los próximos 10 de Agosto -que será una extra-super-luna- y 9 de Septiembre podremos verlas también. Varían de tamaño debido a la forma elíptica  de la órbita de la Luna añrededor de la Tierra. Cuando esto se produce -el perigeo- está unos 50.000 kilómetros más cerca que en el otro -el apogeo-, de un total de unos 400.000 kms de distancia entre el planeta y su satélite. Antes había malos augurios en estas fechas, pero los científicos han descartado catástrofes sobrevenidas, amén de las coincidencias. Disfruten de las bellas imágenes que proporciona. AMJ

Foto del 12-Julio-2014, Sevilla, del Fotógrafo Miguel A. Morenatti, con la Torre Pelli -en construcción- en primer plano y la Giralda , al fondo..

En estos enlaces  Imágenes ABC y Huffington post  pueden ver imágenes de la superluna en distintas zonas del mundo.

Así titula El Mundo de hoy 13 de Julio un reportaje sobre las nuevas salidas al Grado en Matemáticas: las empresas necesitan matemáticos, y la enseñanza no es la única salida para estos estudios. Léanlo, es muy interesante. AMJ

Ha muerto el polifacético director de orquesta Lorin Maazel. Director de orquesta y musical, violinista, compositor,… era un estadounidense, de origen francés. Sus comienzos en la Universidad de Pittsburg fueron estudiando Filosofía, Idiomas y Matemáticas. Dirigió a las principales orquestas del mundo, especializado en Mozart, Beethoven, Mahler  y Strauss, grabó más de 300 trabajos musicales. Ver más en EL País o en su página web: maestromaazel.com . AMJ

Aunque lo parece, no es una espiral. Muevan el cursor por uno de los círculos y podrán comprobarlo. AMJ

 Ésta corresponde al huevo de una mariposa búho. 

(Cethosia biblis, mariposa roja)

En todas ellas vemos teselaciones , que ya hemos tratado en este blog. El Hexágono. en algunos casos irregular, está presente en la naturaleza, en más ocasiones que parece. Sólo hay que buscarlo. Algunas veces con microscopio, pero ahí está.

(Fotos de National Geographic). AMJ

El pintor ruso, nacido en Kiev, Kazimir Malevich pintó estos "Deportistas", pero no lo hizo pensando en la World Cup Football Brasil 2014 -que acaba de terminar-, aunque el diseño se parece. AMJ

En el Palacio de la Zisa de Palermo, Sicilia(Italia) se encuentra esta lápida, recordando a una tal Ana. Está escrita en árabe, hebreo, latín y griego. Sus recovecos poligonales nos han recordado que la Geometría también está presente en todos lados. Rectángulos, círculos, triángulos, cuadrados,... presentes por todos los rincones.

El Palacio de la Zisa(Al Aziz)AL  fue construido por los árabes en el siglo XII y presenta, por lo tanto, arquitectura morisca. En siglos posteriores fueron añadidas las almenas y restauradas partes semiderruidas. En las siguientes fotos pueden ver todo su esplendor. AMJ

Como todo el mundo sabe -¡al menos eso creo!- Alemania ha ganado el Mundial de Fútbol de Brasil. Le traemos aquí una alineación -no la ganadora- que también hubiese sobresalido en cualquier competición matemática que se organizase.  De Humor Matemático. AMJ

Hemos estudiado ya, en este blog, la presencia del hexágono en la Naturaleza en varias ocasiones: Ya sabíamos que las abejas utilizaban el panal -teselado en hexágonos- para almacenar la miel. Hoy traemos aquí a otras parientes suyas, pero en plan negativo. Éstas no da miel. Dan picaduras. Son las avispas. Construyen sus nidos, utilizando madera -más bien papel- y fabrican estas celdas perfectas: son prismas hexagonales perfectos, formando en ocasiones conjuntos geodésicos -casi una esfera-  ¡¡Sin duda una obra de arquitectura superior!! AMJ

Todo es una cuestión de economía. Para eso estaba el hexágono, y como la Naturaleza es sabia lo utiliza para "economizar". Ahora se trata de la cola de caballo: el "equisetum arvense". (Fotos de Flickr). AMJ

     Desde hace siglos la humanidad se afana por captar la forma y reducirla a elementales volúmenes geométricos. Leonardo tendía a fabricar huevos que, según Euclides, debían ser la forma más perfecta. Ingres prefería las esferas y Cézanne, los cubos y los cilindros. Pero únicamente Dalí, gracias a los vericuetos de su hipocresía elevada al paroxismo que le había llevado a dejarse obsesionar exclusivamente por los rinocerontes, acaba de encontrar la verdad. Todas las superficies un poco curvas del cuerpo humano poseen el mismo lugar geométrico común, que es el que se encuentra en este cono, con el extremo redondeado y curvado hacia el cielo o hacia la tierra y angélicamente inspirador de un deslizamiento hacia la perfección absoluta, ¡el cuerno del rinoceronte! 

Del libro Diario de un genio, de Salvador Dalí.  

Dalí pensaba, como aquí lo escribe, que el cuerno del rinoceronte era la perfección matemática. Aquí lo vemos en el cuadro "La máxima velocidad de la Madonna de Rafael"(1954).

O en esta otro "Figura rinoceróntica del Ilisos de Fidias". AMJ

(Cataratas de Iguazú, Argentina)

(Cataratas Victoria, Zimbabwe)

(Cataratas Yosemite, EEUU)

(Cataratas de Cumberland, EEUU)

Estamos acostumbrados a ver el arco iris.  Un fenómeno óptico y meteorológico que se produce cuando los rayos del Sol atraviesan gotas de agua, formando un arco multicolor, que va desde el rojo en el exterior, hasta el violeta en el interior. Lo que es más raro es que esto se produzca  por los "rayos reflejados" de la Luna. Aquí se puede ver en estas fotografías que ello es posible, y aunque son más tenues que los solares, son igualmente bellos. AMJ

El Roto en EL País, el 29 de Julio, acertando, como siempre, al describir la realidad de una manera tan irónica. AMJ

Ya hemos dejado muestra de la presencia del hexágono en la Naturaleza. Teníamos una entrada: La Calzada del Gigante, monumento al prisma hexagonal, en Irlanda; que nos acercaba a este monumento natural, de columnas de basalto -prismas hexagonales- que provenían del enfriamiento de lava incandescente, que da lugar al basalto, creando esta maravilla natural. Hoy traemos una situación similar. Se trata de una piscina en Israel, Brehat HaMeshushim -la piscina de los hexágonos-, en los Altos del Golán, sobre el río Nahal Zvitan, que sigue unos patrones igual que los estudiados en la Calzada del Gigante. Sin duda la Naturaleza economiza: se solidifica con la mínima energía posible, formando un polígono, el más cercano a la forma redonda. ¡¡El hexágono presente por todos lados!! AMJ

Grammichele es una ciudad italiana de unos 15.000 habitantes en la provincia de Catania, en Sicilia. Fue construida por los refugiados  de la vecina Occhiolá, sobrevivientes del terremoto de 1693. La peculiaridad de esta ciudad es su construcción hexagonal. Concéntrica de perímetro hexagonal, comenzada a construirse el 18 de Abril de 1693, es uno de los pocos ejemplos de arquitectura racionalista en Italia. La plaza central, hexagonal, tiene  8164,8 metros cuadrados, donde se encuentran el Ayuntamiento y la Iglesia, de donde parten seis calles desde el centro de cada una de las caras del hexágono. Queda así definida la ciudad en seis secciones iguales, una de las cuales se dejó para que el fundador, el príncipe Carlo María Carafa –apasionado de la Astronomía  y las Matemáticas- construyera sus palacios. En la plaza se construyó un reloj de Sol –que eliminaron más tarde- y que ahora es una estatua –también reloj- de un hombre arrodillado y atrapado por el tiempo.

Sin duda el hexágono está muy presente en la Naturaleza, y también  en la construcción humana, para añadir racionalidad. Para algunos,  Grammichele es la ciudad ideal.   AMJ

Una de las maneras de hacer esta fruta un poco más rentable es convertirlas en cuerpos geométricos, distinto al esférico que presenta de forma natural. En el proceso de crecimiento se procede con moldes apropiados para obtener el poliedro deseado: cubos, prismas,...  ¡Parece que su venta, en algunos países ha aumentado exponencialmente! AMJ

"Números buenos, dentro de la corona de laurel; números diabólicos, dentro de la serpiente", según el escritor y filósofo de Baviera(Alemania), Karl von Eckartshausen (1752-1803). AMJ

Según el último informe PISA, la educación financiera en España está por los suelos. Según esta viñeta, alguna de ella parece que está en lo más alto. ¿Cuál será?. AMJ