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Algebra Welcome por ianvogt2000.

06/06/2010 16:11 A.M.J. Enlace permanente. CURIOSIDADES No hay comentarios. Comentar.

El problema del caballo-Junio-2010

El llamado “Problema del caballo” es un antiguo problema matemático relacionado con el ajedrez. Consiste en encontrar una secuencia de movimientos -válidos- de esta pieza para que recorra todas las casillas del tablero, visitando cada una solo una vez. Verdaderos ejércitos de matemáticos han encarado este problema, pero sigue sin conocerse el numero exacto de soluciones que existe. El problema ha sido planteado para tableros de diferentes tamaños y distintas condiciones iniciales, y sigue siendo tan atractivo como hace 1200 años.

A lo largo de los siglos, los matemáticos han utilizado el tablero y piezas del juego de ajedrez para plantear miles de acertijos, muchos de los cuales presentan semejante nivel de complejidad, que no han logrado ser resueltos ni siquiera abordándolos con los superordenadores más potentes. El denominado “problema del caballo” es uno de los desafíos que involucran elementos del ajedrez más simples de enunciar pero más difícil de resolver. El reto consiste en poner un caballo en una de las casillas de un tablero de ajedrez vacío, y -respetando los movimientos válidos para esta pieza- recorrer cada uno de los casilleros sin pasar dos veces por el mismo, volviendo (o no) a la posición de partida. Si bien existen varios recorridos probados que satisfacen las condiciones enunciadas, lo cierto es que a pesar del esfuerzo de muchos matemáticos no se conoce con exactitud la cantidad de soluciones posibles para el problema del caballo.

Dos recorridos válidos, uno de Ali C. Mani y otro de Al-Adli ar-Rumi.

Una de las primeras soluciones conocidas data del siglo IX. En efecto, en un manuscrito del árabe Abu Zakariya Yahya ben Ibrahim al-Hakim se encuentran documentados dos recorridos válidos. Uno de ellos pertenece a un jugador de ajedrez llamado Ali C. Mani y el otro a Al-Adli ar-Rumi, un aficionado del que se sabe también escribió un libro sobre una forma de ajedrez popular por esa época llamado “Shatranj”.

A lo largo de los siglos, el problema del caballo fue modificándose, dando lugar a distintas variantes. Por ejemplo, pueden utilizarse tableros de dimensiones diferentes a las 8x8 casillas tradicionales, o permitirse que la casilla de llegada no coincida con la de salida.

As-Suli basó su análisis en los trabajos anteriores de Al-Adli.

Esta última variante facilita un tanto las cosas, y aumenta aun más la cantidad de soluciones posibles. Cuando el caballo debe llegar a la misma casilla de la que salió, se dice que el recorrido que efectúa es “cerrado”. As-Suli, otro árabe mestro de Shatranj, que basó su análisis en los trabajos anteriores de Al-Adli, encontró allá por el año 900 de nuestra era dos recorridos recorridos cerrados.

20 ordenadores pensandoEl primer estudio matemático importante sobre este problema se cree es el que efectuó el genial el matemático Leonhard Euler (1707–1783), quien presentó su trabajo a la Academia de las Ciencias de Berlín en 1759. En realidad Euler, una figura reconocida que publicó más de mil trabajos y libros brillantes durante su vida, sabía que la Academia ofrecía un premio de 4.000 francos a aquel que pudiese arrojar algo de luz al problema del caballo. Si bien se conocían muchas soluciones, nadie había logrado estimar el numero de ellas que existían ni un algoritmo que permitiese generarlas sin dificultad.

Euler encaró el problema y encontró que existían varios recorridos cerrados / NeoTeo

Los que habían abordado el problema sabían que encontrar una solución simplemente moviendo el caballo “al tanteo” era prácticamente imposible, pero tampoco eran capaces de encontrar un método que facilitase el proceso. Así las cosas, Euler encaró el problema y encontró que existían varios recorridos cerrados que ofrecían la ventaja de permitir comenzar por una casilla cualquiera del tablero y completar el recorrido a partir de ella. Lamentablemente, en el momento en que publicó su trabajo, Euler era Director de Matemáticas de la Academia de Berlín, por lo que por una cuestión ética no pudo cobrar el premio.

Hoy sabemos que el numero de recorridos posible es realmente muy grande. A pesar de haberse utilizado los más grandes ordenadores disponibles para buscar todas las formas en que el caballo puede recorrer el tablero, no estamos seguros de que los valores hallados sean correctos. Hace 15 años, en 1995, Martin Löbbing e Ingo Wegener pusieron a trabajar 20 ordenadores Sun -potentes para la época- durante cuatro meses y publicaron un documento en el que proclamaban que el número de recorridos posibles en un tablero de 8x8 era 33.439.123.484.294.

Dos años más tarde, en 1997, Brendan McKay encaró el problema del caballo dividiendo el tablero en dos mitades y llego a un resultado algo menor: “sólo” existirían 13.267.364.410.532 recorridos posibles. Para tener una idea de lo que significan estos números, basta saber que si un robot fuese capaz de mover el caballo para que complete un recorrido por segundo, demoraría más de 420 años en probarlos a todos.

¿Que utilidad tiene para un jugador de ajedrez conocer estos recorridos? Muy poca. Pero esta clase de desafíos han impulsado a muchos aficionados o matemáticos a encarar problemas que finalmente suelen tener alguna aplicación práctica a la hora de encontrar rutas óptimas que pasen por un determinado número de lugares o que permitan -por ejemplo- ahorrar tiempo o combustible. Como sea, el Problema del caballo ha logrado mantener interesados a los matemáticos durante siglos, y todo parece indicar que lo seguirá haciendo durante mucho tiempo.

07/06/2010 21:53 A.M.J. Enlace permanente. NOTICIAS Y OTROS No hay comentarios. Comentar.

Ecuaciones de primer grado-1º ESO

Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 2x – 6 = 8

b) 8x + 36 = 2x

c) x/2 + 10 = 19

d) (x-3)/4 = x

e) x – 8 = 6 + 21

f) 5 + x = 2x + 1

g) x – 5 + 6 = 0

h) 5x – 2 = 3x – 16

i) x - 8 = 6 + 21

j) 5 + x = 2x + 1

k) x - 5 + 6 = 0

l) 5x - 2 = 3x - 16

Solución

a) x = 7; b) x = -6; c) x = 18; d) x = -1; e) x = 35; f) x = 4;

g) x = -1; h) x = -7; i) x = 35; j) x = 4; k) x = -1; l) x = -7;

Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 3x - 2(x-3) = 5

b) 2 - 4x + 7 = 3(x + 2)

c) 2 - 4(1 - x) = 2 + x

d) (2x - 4)3 - 4(x + 2) = 2 - 3x

e) 4 + 3x - 2(x + 1) = 2

f) 2x + 3(2 - 3x) = 1

g) 4x - 3 + 2(x + 2) = 3x - 2

h) (3x - 2)2 - 5(2x + 1) = x - 4

i) 3x - 4 + 5x = 2(2 - 4x)

j) 2(1 - 2x) + 3(3x - 2) = 1 - x

k) -2x - 6 = 7(4x + 14)

Solución

a) x = -1; b) x = 3/7; c) x = 4/3; d) x = 22/5 e) x = 0; f) x = 5/7;

g) x = -1; h) x = -1; i) x = 1/2; j) x = 5/6: k) x = -52/15;

08/06/2010 10:25 A.M.J. Enlace permanente. 1ºESO Hay 97 comentarios.

Perelman rechaza un millón de dólares-10-Junio-2010

Grigori Perelman

El matemático ruso Grigori Perelman, el mayor genio vivo de las matemáticas, ha sido esperado en vano en París. El Instituto Clay de Matemáticas iba a entregarle una estatuilla y un premio de un millón de dólares como reconocimiento por haber sido capaz de resolver la conjetura de Poincaré, uno de los siete Problemas del Milenio. Sin embargo, Perelman, de carácter difícil y huidizo, no se ha presentado, según informa la agencia rusa RIA Novosti. Se desconoce qué ocurrirá ahora con el premio, si Perelman, que reside pobremente en San Petersburgo, preferirá seguir viviendo como un ermitaño o si la organización norteamericana le hará llegará el dinero de alguna manera.

El Instituto Clay de Matemáticas anunció el pasado mes de marzo que otorgaba a Perelman el Premio del Milenio. La ceremonia de entrega del galardón a Perelman tenía que desarrollarse este martes en el Instituto Oceanográfico de París, pero nada se supo del científico ruso. Pese a la ausencia de Perelman, sí se le realizó un homenaje. "Anunciamos que el premio se adjudica al señor Perelman. Muchos matemáticos le rindieron tributo, señalaron que su obra marca el fin de una época y el comienzo de una nueva", dijo James Carlson, director del Instituto Clay, a la agencia rusa RIA Novosti.

Al premio monetario se adjuntan dos estatuillas. Una quedará en París hasta que Perelman desee recogerla. Y otra fue entregada a Francois Poincaré, nieto del matemático Henri Poincaré, pero permanecerá en el instituto parisiense que lleva el nombre de Henri Poincaré. El director del Instituto Clay no se explica por qué el científico ruso menosprecia las actividades que se organizan en su honor. "Es su decisión y la respetamos", se limitó a señalar.

La conjetura que ha resuelto el genio ruso fue formulada por el matemático francés Henri Poincaré en 1904. Grigori Perelman publicó por primera vez en 2002 una obra dedicada a la hipótesis de William Thurston, de la que se desprende lo correcto de la Conjetura de Poincaré. En 2006, Perelman recibió la medalla Fields por la resolución de ese problema matemático, pero entonces también se negó a aceptarla.

El matemático se niega rotundamente a tratar con la prensa e intervenir en público. Vive prácticamente en la miseria, de la pequeña pensión de su madrey de lo que gana dando clases partículares de matemáticas. Uno de sus mejores amigos aseguró hace poco que el genio está trabajando en otro desafío, la demostración matemática de la existencia de Dios. «Está convencido de haber logrado probar la existencia de Dios», aseguró

10/06/2010 19:17 A.M.J. Enlace permanente. NOTICIAS Y OTROS No hay comentarios. Comentar.

Curiosidad matemática

11/06/2010 17:33 A.M.J. Enlace permanente. CURIOSIDADES No hay comentarios. Comentar.

El teorema de los cuatro colores

Teorema de los cuatro colores

Ejemplo de mapa coloreado con cuatro colores.

El teorema de cuatro colores es un teorema sobre el coloreo de grafos, y establece lo siguiente:

Dado cualquier mapa geográfico, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color.

Dos regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en común, no solamente un punto.

Es fácil ver que no es posible colorear cualquier mapa en estas condiciones con sólo tres colores, y es laborioso pero no complejo demostrar la propiedad con cinco colores.

El problema de los cuatro colores fue planteado por primera vez por Francis Guthrie en 1852 y resuelto en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken con la ayuda de una computadora.

La polémica demostración

El teorema de cuatro colores ha sido demostrado con la ayuda de un ordenador. La prueba sin embargo, no es aceptada por todos los matemáticos dado que sería impracticable por su gran cantidad de detalles que una persona se vería imposibilitada de verificar manualmente. Sólo queda aceptar la exactitud del programa, del compilador y del computador en el cual se ejecutó la prueba.

Otro aspecto de la prueba, que puede ser considerado negativo, es su falta de elegancia. Una crítica sin mucho sentido que habla sobre la elegancia de la prueba, comentada en la época de su publicación, dice:

«una buena prueba matemática es similar a un poema —¡pero esto es una guía telefónica!».^[1]

En la actualidad ya se realizó otra demostración, pero también haciendo uso de cálculos en la computadora, lo cual verifica la prueba original, pero queda la interrogante de una prueba que se pueda efectuar con lápiz y papel.

11/06/2010 17:44 A.M.J. Enlace permanente. CURIOSIDADES No hay comentarios. Comentar.

Curiosidades del calendario

Santa Teresa de Jesús murió el 4 de octubre de 1582 y fue enterrada, al día siguiente, el 15 de octubre. Durante la noche que fue velada, en Alba de Tormes, se produjo el salto de diez días de la reforma del calendario.
La Revolución de Octubre (1917) en Rusia fue en noviembre para el resto de Europa (exactamente, el día 7 de noviembre), pues los rusos se regían por entonces por el calendario de la Iglesia Ortodoxa.
En la obra Un yanqui de Connecticut en la corte del rey Arturo, de Mark Twain, se hace referencia a un eclipse de sol que ocurrió el 21 de junio del año 528 de nuestra Era, tres minutos después del mediodía.^[7] Sin embargo, al no hacer referencia al cambio del calendario, que fue aprobado después de dicha fecha tanto por Gran Bretaña como por los Estados Unidos, deja sin efecto la posibilidad que se indica en la novela de predecirla, tema crucial en la novela, además de que la hora solar romana (que se tomó en cuenta para la creación del calendario gregoriano), tampoco coincidía con la hora solar de la isla de la Gran Bretaña, por lo que la exactitud de la hora (tres minutos después del mediodía) tampoco tenía nada que ver con lo que en realidad ocurrió.
Isaac Newton, "padre" de la ley de la gravedad, nació el día de Navidad de 1642, justamente el día que murió Galileo Galilei. Esta casualidad sirvió para que, tres siglos después, el filósofo Bertand Rusell defendiera con ese ejemplo su teoría sobre la trasmigración de las almas.
El 23 de abril de 1616, aunque según distintos calendarios, fallecieron tres grandes escritores de la literatura: Miguel de Cervantes (calendario gregoriano) , William Shakespeare (calendario juliano, si consideramos que el desfase temporal que el nuevo calendario intentaba enmendar era de diez días, ha de concluirse que el autor de Hamlet falleció (según fecha gregoriana) el 3 o el 4 de mayo) y el Inca Garcilaso de la Vega. Se eligió este día para conmemorar a los libros, fomentar la cultura y la protección de la propiedad intelectual por medio del derecho de autor.
En España, el Día del Libro se celebra por primera vez el 7 de octubre de 1926 para conmemorar el nacimiento de Cervantes