Espacio-tiempo
La cigüeña-1
Expresiones algebraicas-1ºESO
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Matemáticos de Al-Andalus.
Abu Muhammad Jabir ibn Aflah (en árabe أبو محمد جابر بن أفلح), (nacido en Sevilla en el año 1100 y muerto en 1150), fue un astrónomo, matemático e inventor andalusí, cuyo trabajo, una vez traducido al latín (bajo su nombre latinizado, Geber), influyó en otros matemáticos y astrónomos europeos más tardíos. Transmitió todo el conocimiento matemático precedente.
Inventó un instrumento de observación conocido como torquetum.Cardano notó que mucho material de Regiomontanus sobre trigonometría esférica era un plagio del trabajo del siglo XII de Jabir ibn Aflah.
Abd’Allah Muhammad Ibrahim al-Yayyani, (Jaén,? - id. 1093) fue un matemático de Al-Ándalus, que destacó especialmente por sus investigaciones y aportes en trigonometría, que desligó por vez primera de los estudios de astronomía.
Fue cadí de Jaén y visir de Sevilla. Viajó a Egipto con ocasión de su viaje a La Meca, donde entró en contacto con los matemáticos de la época en Oriente. Sus aportaciones fundamentales al conocimiento matemático fueron el hacer comprensible la razón matemática entre magnitudes inconmensurables que figuraba en el libro quinto de los Elementos de Euclides como razón racional; realizar la primera obra o tratado conocido de trigonometría esférica, en buena medida gracias a las aportaciones de los matemáticos egipcios, en el que resolvió varios teoremas y todos los problemas que se plantean en los triángulos esféricos cuando se conocen cuatro de sus elementos y, además, recoge de forma sistematizada el conocimiento matemático de la época.
Realizó el cálculo de la altura de la atmósfera-83,86 kilómetros-, sobre la base de cuatro parámetros que fueron: la circunferencia terrestre de 38.624,25 kilómetros, el tamaña relativo de la Tierra y el Sol en una relación 5,5 a 1 en radios terrestres, distancia media de la Tierra al Sol [1.110 radios terrestres] y ángulos de depresión de los crepúsculos. Dicho cálculo fue el usado durante casi 600 años en Europa hasta que Kepler lo modificó al introducir la variable de la refracción de la luz en la atmósfera.
Fue llamado justamente "El Euclides de España", y destacó en las matemáticas , la astronomía y ciencias afines, pudiendo comparársele favorablemente con los eruditos orientales. Ibn Jaldun, en su obra "Al Muqaddimah", vol. 3, pág. 116, y Said en su "Tabaqat", pág. 92, dicen de él lo que sigue: "Los practicantes más famosos de estas ciencias fueron Yabir ibn Hayyan en Oriente, y el andalusí Maslamah ben Ahmad al Mayriti y sus discípulos [...] Él fue el principal matemático de su época en Al Andalus y con más conocimientos de astronomía que nadie antes de él".
Escribió gran cantidad de obras sobre matemáticas y astronomía, matemáticas mercantiles, un comentario a la obra del matemático oriental Al Juwarizmi, el astrolabio, y otros temas. Asimiló perfectamente el "Almagesto" de Tolomeo, y su libro sobre las tablas astronómicas, según Ibn Hazm, no tiene rival. No sólo tomó en consideración la obra de al Juwarizmi sobre este tema, sino que la corrigió, enmendó y amplió. Entre sus cambios se hallan la adición de nuevas tablas y la conversión del calendario persa a las fechas árabes empleando la Hégira como punto de partida para el cálculo. Llevó también a cabo la adaptación de las tablas astronómicas más importantes en su momento, las del persa Al Juwarizmi, al meridiano de Córdoba.
Además de ser un importante matemático y astrónomo, se le atribuye el haber resumido una gran cantidad de libros sobre magia, brujería y alquimia, el principal de los cuales es su "Rutbat al hakim", acerca de la alquimia, y que se puede comparar con los "Setenta Tratados" de Shabir Ibn Hayyan sobre esta materia.
Murió en Córdoba en el año 398 H (1.008 de dC).
Al Zarqali, o Azarquiel nació en Toledo en el año 1.029 . Fue un destacado astrónomo y matemático que, a raíz de la conquista de la ciudad por Alfonso VI en 477 H, se trasladó a Córdoba, donde murió en el año1.100 . Construyó excelentes instrumentos astronómicos, y otros aparatos de precisión, y fue muy admirado por su amplio conocimiento de esta ciencia. Said de Toledo, que escribió una obra de astronomía, le describe como el mejor conocedor de los movimientos de los astros, la observación astronómica, preparación de tablas y construcción de instrumentos.
Hizo un reloj de agua capaz de determinar la hora del día y de la noche, y los días de los meses lunares: el reloj anafórico, lo cual le dio un gran prestigio y acrecentamiento de su fama. Con referencia a dicho reloj existe una descripción realizada por Al Zuhri y Al Maqqari, exponiendo los siguientes detalles: «Lo que hay de sorprendente en Toledo, tanto que no creemos que haya en todo el mundo habitado ciudad alguna que se le iguale en esto, son dos recipientes de agua que fabricó Al Zarqali. Cuentan que oyó hablar de cierto aparato que hay en la ciudad india de Arín y se propuso construir un artificio parecido por el que supiera la gente qué hora del día o de la noche era y pudiera conocer la edad de la Luna. Para ello construyó grandes estanques en una casa, en las afueras de Toledo, a orillas del Tajo, haciendo que se llenaran de agua o se vaciaran según el crecimiento y menguante de la Luna».
Una de sus obras fue "Suma referente al Movimiento del Sol", que recoge el fruto de 25 años de observaciones para demostrar y medir el movimiento del apogeo solar respecto a las estrellas, modo de determinar la posición del Sol basándose en las tablas, la posición de los planetas, longitud y latitud, y los eclipses de Luna y Sol.
También mejoró un tipo de astrolabio llamado Al Safíhah, sobre el cual escribió un tratado que fue traducido al romance por orden de Alfonso X el Sabio. Sus "Tablas Astronómicas Toledanas", elaboradas hacia el año1.340, fueron la base de la primera redacción de las "Tablas Alfonsíes", de Alfonso X el Sabio, y se tradujeron al latín por Gerardo de Cremona.
Ejercicios Estadística-1ºBach.CCSS
EJERCICIOS ESTADÍSTICA 1ºBACHILLERATO CCSS
1.- El número de personas que viven en cada uno de los 50 bloques de una barriada es el siguiente: 21,23,43,23,25,48,34,22,38,29,30,21,33,43,44,41,26,29,28,34,
35,30,41,44,47,49,41,32,35,46, 43,35,37,33,43,42,41,35,34,41,
42,27,26,23,24,28,33,35,38,45. Se pide:
a) Construir una tabla de frecuencias, con intervalos de amplitud 5.
b) Construir un diagrama de sectores.
c) Medidas de posición central: Calcular media, mediana y moda; el cuartil tercero, el decil séptimo y el percentil 37º.
Calcular igualmente el porcentaje de bloques en los que viven menos de 38 personas.
d) Medidas de dispersión: Calcular el rango, la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
2.-Los pacientes que acuden a una consulta médica, según la edad, vienen dados en la siguiente tabla:
Edad | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 |
Pacientes | 8 | 21 | 25 | 30 | 11 | 15 | 10 |
a) Calcula la mediana y la moda de la distribución. Calcula el porcentaje de pacientes menores de 27 años.
b) Calcula la desviación típica de la distribución. ¿Se podría decir que se distribuye “normalmente”.
3.- En un pueblo del Aljarafe se distribuye la renta según la siguiente tabla:
Renta(miles de euros) | 3-6 | 6-11 | 11-17 | 17-25 | 25-38 | 38-50 | 50-70 |
Número de familias | 180 | 400 | 600 | 800 | 300 | 200 | 20 |
a) Construye el histograma de la distribución.
b) Si se define la clase media como el grupo de familias que tienen rentas comprendidas entre el 20% de la mediana por debajo y un 40% por arriba; determina las rentas mínima y máxima que perciben las familias de clase media.
c) Se define como “umbral de pobreza” los ingresos familiares de menos de 14000€ anuales. ¿Qué porcentaje de pobres hay en este pueblo?
d) En otro pueblo, también del Aljarafe, la renta familiar media es de 18000€ anuales y una desviación típica de 4500€. ¿Cuál de los dos pueblos puede considerarse más homogéneo en cuanto a rentas anuales percibidas?.
A.M.J.
El cocodrilo-1
Humor y buena música. AMJ.
Mozart y las Matemáticas.
Mozart y las Matemáticas.
La relación de la Música y las Matemáticas se remonta a la antigüedad; ya Pitágoras estudió estas influencias. Pero hasta Mozart no queda palpable esta relación: la del cálculo de probabilidades y la melodía. Mozart era un matemático en potencia y manejaba conceptos abstractos matemáticos, aunque de forma inconsciente, y así, al estudiar su obra se encuentran relaciones curiosas con las Matemáticas, como por ejemplo el número Pi, las Homotecias y la combinatoria (un apartado del cálculo de probabilidades).
Componer música es el arte de combinar distintas ideas musicales buscando una unidad formal. Si el desarrollo de las ideas es largo, más costará combinarlas.
Así Mozart a los 21 años, en 1777, describe un juego de dados al cual va a asociar una pequeña obra musical. Era un vals de 16 compases, que tituló Juego de Dados Musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición (K294). Decía sobre la composición musical que “Todo está compuesto, pero no escrito todavía”.
Cada uno de los compases se escoge lanzando dos dados y anotando la suma del resultado. Tenemos 11 resultados posibles( del 2 al 12). Mozart diseñó dos tablas: una para la primera parte del vals y otra para la segunda. Cada parte consta de 8 compases. Para obtener cada uno de los primeros compases( numerados del I al VIII) se lanza un par de dados y se anota la suma de puntos obteniéndose 8 parejas: (n1, I), (n2, II), (n3, III), (n4,IV), (n5,V), (n6,VI), (n7,VII) y (n8,VIII).Cada pareja se asocia a un número de compases generándose ocho:N1, N2, N3, N4, N5, N6, N7 y N8.
Los 8 compases siguientes del vals se obtienen de forma similar:
(m1, I), (m2, II), (m3, III), (m4,IV), (m5,V), (m6,VI), (m7,VII) y (m8,VIII).
Cada pareja se asocia a un número generándose los otros ocho compases M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7y M8.
Se generan así 3800 billones de valses distintos (con una duración aproximada de 30 seg) que si se tocaran de forma continua durarían aproximadamente 361 millones de años.
Mozart compuso176 compases.La Tabla de los ocho primeros
compasesy la segunda del vals de Mozart están en la imagen del principio
Mozart designó los compases por columna siguiendo un patrón sencillo de su época(Los amantes de la música pueden estudiar estos compases en otros propiamente musicales).
Ello nos lleva a una composición cuya armonía está en la imagen del principio
Ahora visto lo que hizo Mozart, podemos hacer una prueba: los Músico-Matemáticos( o ayudados) tiran los dados………….. .Como puede verse nadie duda que Mozart era un genio( ya sabía que componer era sólo pura Combinatoria).
Esta entrada va dedicada al insigne músico, extraordinario profesor, buen compañero, amigo y mejor persona Emilio Gil.
Para completar en la tesis doctoral "Teoría de la Probabilidad en la Composición Musical Contemporánea" de Susana Tiburcio. AMJ, Febrero de 2011.
Mentiras y Estadistíca-2 (La Reforma de las pensiones)
Como ya recogimos en una entrada anterior las mentiras y la Estadística están unidas desde siempre y la manipulación de datos a la orden del día. Es verdad que la actividad política es la actividad humana que tiende a dirigir la acción del Estado en beneficio de la sociedad, y por lo tanto un proceso orientado ideológicamente de toma de decisiones para conseguir los objetivos propuestos. Esto es incuestionable.
Por su parte la Estadística inferencial es una parte de la Estadística que comprende los métodos para deducir propiedades de una población estudiando muestras de ella o proyecciones temporales (situaciones en las que se suponen determinados comportamientos de las variables).
Cuando se unen ambas, la Estadística inferencial y la Política, y se intentan explicar decisiones económicas, por otra parte perfectamente legítimas, sobreviene lo que titulamos en el post: MENTIRAS basadas en la ESTADÍSTICA. Vamos al grano: la reforma de las pensiones. Lo vamos a estudiar desde un punto de vista matemático.
Se utilizan varias afirmaciones para explicar las decisiones tomadas:
1)Proyecciones anteriores erróneas: en el año 1995 se pronosticaba que en el año 2000 habría déficit. Llegó el año 2000 y el sistema tuvo un superávit de 0,62% del PIB. Más tarde dijeron que el colapso vendría en el 2005 y no fue así. En el año 2010 sigue presentando superávit. Por lo tanto los errores en las proyecciones han sido garrafales o malintencionados; más bien lo segundo. Igualmente en el año 1995 pronosticaban que habría 14,1 millones de cotizantes a la Seguridad Social y 8,7 millones de pensionistas: nuevo error; como consecuencia de ello la tasa pasó de ser de 2,05 afiliados por pensionista en 1995 a 2,55 en 2010, todo ello ignorando el incremento de los salarios y de la productividad (por encima de los IPC anuales en los que se han revalorizado las pensiones). Ahora dicen que en el 2040 habrá 1 cotizante por pensionista ¿es una proyección creíble? Puede ser, pero muy poco probable.(Más adelante veremos tablas de proyecciones) Cuando todas las predicciones van en el mismo sentido no es fácil atribuirlo a la ignorancia, más bien a la intencionalidad dirigida.
2)Proyecciones futuras dicen, según expertos catastrofistas, que en el año 2060 las pensiones supondrán el 15.1% del PIB desde el 8,4% en el 2007 y por lo tanto insostenible(algunos países como Italia ya gastan el 13,4% de su PIB en pensiones), lo cual requiere una intervención ahora. Este estudio ignora el impacto de la productividad; cuestión que el Banco de España admite como muy razonable un crecimiento del 1.5% anual. Pues tomando esta proyección el PIB del 2060 será 2.23 veces la de 2007; es decir si tomamos el valor del PIB de 2007 como 100 el de 2060 será 223, es decir en el 2007 los recursos del 2007 para los no pensionistas es de 91,6; y para 2060 será 223-0.151*22=192 : una cantidad más del doble de la existente en 2007.(Del pasado ya sabemos que hacer predicciones basadas en el catastrofismo es un error)
3)Asumir que la esperanza de vida mide los años que una persona vive. Es un error pues si desde 1980 hasta 2005 la esperanza de vida ha subido 4 años, ello no quiere decir que el promedio español vive ahora cuatro años más. Esperanza de vida es distinto de longevidad:
Ejemplos. 10 y 80 esp. de vida 45; 30 y 80 esp. de vida 65. Sube la esperanza de vida pero no la longevidad (la persona mayor de los dos ejemplos muere a los 80 años). Luego basta que se ataje la mortalidad infantil, como así ha ocurrido en España, para que suba la esperanza de vida: por lo tanto no es cierto que la esperanza de vida sea un factor de longevidad de la población (aunque se admite que algo sí ha subido pero no en la proporción mantenida). Hacer cálculos con esta variable penaliza a la población.
4)La longevidad por clases sociales es diferente. Así el primer decil de las rentas más bajas del país (el 10% más pobre) y el último decil (10% más rico) es de 10 años de diferencia(Según la Sociedad Española de Salud Pública y Administración Sanitaria (SESPAS)). ¡¡Increíble , pero cierto!!. En Estados Unidos es de 15 años. ¡Es decir el nivel de salud de un obrero a los 60 años coincide con la de un banquero a los 70 años!. Parece injusto pedirle al primero que continúe trabajando dos años más para pagarle la pensión al segundo que le sobrevivirá diez años.
Por ello hacer suposiciones sobre productividad, población, paro, etc son inciertas. En las siguientes tablas se ven simulaciones con distinta productividad:
![[clip_image002[4].jpg]](https://matemolivares.blogia.com/upload/externo-3a1da9b55cc2ae67a1b00a26b70addef.jpg)
Con un incremento anual de la productividad del 1.8% (es el que admite la UE como prudente y el que utiliza en sus informes y proyecciones) no hay problema de sostenibilidad, al contrario sobra dinero a espuertas para todo lo que se quiera dedicar.
Conclusión: Se puede tomar la decisión que se crea más oportuna pero no utilizando argumentos matemáticos o estadísticos manipulados, con poca probabilidad de que sucedan o simplemente sesgados, en un mismo sentido siempre. Que el lector saque sus conclusiones, que todas son respetables, pero aunque este blog es de Matemáticas y no de Economía no podía eludir dar mi opinión sobre el tema tan actual( que creo queda claramente de manifiesto). Para aquellos que quieran profundizar en el tema en el blog de Vicenç Navarro se puede obtener información detallada de todo ello, así como en la web del I.N.E.. AMJ Sevilla, Febrero del 2011.
Ecuaciones 2ºgrado-2ºESO
Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011
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Origen de Álgebra.
Ya es conocido que la palabra álgebra proviene del árabe. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi publicó en Bagdag en el siglo IX(hacia el año 825) el famoso libro “Kitab-l muqabala-Jabr wa al”, donde se estudia la ecuación de segundo grado. La palabra Al-Jabr dio lugar a Álgebra; muqabala se deriva de la misma raíz que qabbala, la Cábala hebrea. Hay que resaltar que algebrista en español(antiguo y actual) es curandero. Así el diccionario de la RAE dice de algebrista(aunque en desuso): Cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos.
También este matemático árabe introdujo algún otro nombre de entes matemáticos: como la raíz “jizr” para referirse a lo que esconde una ecuación. Sus traductores tomaron la palabra y el símbolo lo tomaron de la palabra árabe
En Europa se siguen tomando nombres para los entes matemáticos del Álgebra o la Geometría del latín o del griego . Así por ejemplo en 1691 apareció monomio del griego Mononom y el de polinomio en 1697.
Mentiras y Estadística.
En general, el público muestra un profundo desconocimiento de lo que los parámetros de centralización y de dispersión representan en realidad y de su uso conjunto. Así la presentación de estos resultados y sus conclusiones son, a menudo, adulteradas para hacerlas llegar al gran público, usuarios, consumidores u otros, generando confusión, engaño o falsedad. Es así un problema que sobrepasa a la Estadística y tiene más que ver con la Sociología ,el Marketing , la prospectiva electoral, etc.
Así el premier británico Benjamin Disraeli sentenció primero y Mark Twain popularizó más tarde la afirmación, que llega hasta nuestros días:
Hay mentiras, grandes mentiras y estadísticas.
Hay otros personajes que también han advertido sobre la simplificación que supone la estadística, como el profesor Aaron Levenstein, quien afirmaba:
Las estadísticas son como los bikinis, lo que muestran es sugerente, pero lo que esconden es vital.
Podemos ir pensando en la cantidad de trampas(ilusiones cognitivas) que influyen en nuestra percepción de la presentación de resultados. Así tanto en Política como en Economía, en Sociología o en Publicidad se utilizan todo tipo de técnicas para adulterar la percepción del resultado o del producto.
Esto ya se estudió en 1954 en el libro How to lie with statistics cuyo resumen enlazamos a continuación por su interés y rigor.
De este estudio entresacamos algunos párrafos que entrecomillamos y que son tremendamente claros y precisos:
El informar mal, utilizando material estadístico, podría llamarse manipulación estadística, y resumiéndolo
en una sola palabra (aunque no sea muy buena), estadisticulación. Sea quien sea el culpable en un caso determinado, se hace difícil achacarlo a su incapacidad inocente.
Mientras los errores estén todos de una parte, no es fácil atribuirlos a falta de conocimiento o a la casualidad.
Así en algunos países se incorporan los delitos estadísticos al Código Penal y la manipulación estadística con fines electorales se incorporan igualmente a los delitos electorales, que en algunos países están perseguidos.En otras entradas posteriores seguiremos estudiando el tema, pero ya centrándonos en casos particulares, específicos de nuestro país.
La cabra-1
Simetría-3
Simetría-2
Simetría-1
Biometría
La biometría es la ciencia que estudia los métodos automáticos para el reconocimiento único de humanos basados en uno o más rasgos conductuales o físicos intrínsecos. El término se deriva de las palabras griegas "bios" de vida y "metron" de medida.
La "biometría informática" es la aplicación de técnicas matemáticas y estadísticas sobre los rasgos físicos o de conducta de un individuo, para “verificar” identidades o para “identificar” individuos.
Los matemáticos Xin Guan y Hanqi Zhuang, de la Florida Atlantic University, han presentado un modelo matemático para crear imágenes en tres dimensiones a partir de una imagen fotográfica plana.Consiste en asignar a cada punto de luz un valor numérico que depende de su posición, su situación respecto al foco de luz de la imagen, la intensidad ,.......
Mejorar las técnicas de reconocimiento facial puede traer consigo ayudas para el reconocimiento de personas involucradas en casos policiales o la posibilidad de minimizar los errores a la hora de identificar a personas en lo que a medidas de seguridad se refiere.
Velocidad en cálculo matemático.
Si os gusta presumir de velocidad en el cálculo mental matemático, mathrun.net te gustará. Se trata de un juego en el que tendrás que marcar como falsas o correctas las operaciones que van apareciendo. Conforme sube el nivel, va aumentando la velocidad y las operaciones son más complejas. Al principio es muy sencillo, por lo que a estudiantes con algún nivel puede cansarles un poco.
Entretenimiento.¿Cuántos animales ves?
Garabatos..........matemáticos
La vaca...2
¡La tarea nos llena toda la tarde!