¡El triángulo de Pascal!

Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de él.AMJ

Mu Cang Chai, geometría de paralelas vegetales: campos de arroz en las montañas vietnamitas.

 Mu Cang Chai es un distrito de la provincia de Yen Bai, aproximadamente a unos 300 km al norte de Hanoi, capital de Vietnam.   Está a unos 1000 metros sobre el nivel del mar, en una zona con  colinas escarpadas, que  hacen casi imposible el cultivo de campos de arroz, pero estos campesinos, jugando con la geometría y los desniveles han hecho unas terrazas para hacerlo posible. Ello ha originado un flujo de visitantes, amantes de la naturaleza y la fotografía, que ha hecho que el cultivo de este cereal sea muy atractivo. Al igual que las imágenes que les hemos traído, que son bellísimas. AMJ

"Vanitas Still Life with Astronomical Instruments" de Christian von Thum.

Vanitas- designa una categoría particular de bodegón, de alto valor simbólico, un género muy practicado en el barroco- del pintor sueco Christian von Thum (1625,1696) de Instrumentos astronómicos. AMJ

Hoy 24 de Febrero: 400 años de la negación de la Teoría Heliocéntrica de Copérnico.

(Actaas del proceso a Galileo)

 Un día como hoy,  24 de febrero, pero de 1616 -¡que también era miércoles!-, la Inquisición Romana aprobó dos proposiciones que censuraban la teoría heliocéntrica desarrollada por Nicolás Copérnico a mediados del siglo XVI. Los miembros de una comisión del Santo Oficio formada por once teólogos negaban la centralidad del Sol y calificaban esta creencia como herética y absurda desde el punto de vista filosófico. Al día siguiente amonestaron a Galileo Galilei, uno de los científicos más reputados del continente, y le conminaron a abandonar el sistema copernicano. Subuurbano se lo recuerda:

El tiempo va cambiando, derecho y revés
a veces la verdad tiene los pies de barro
que cuenten su final Galileo y Servet
y qué les pasó por no bajarse del carro.

Como cumplieron condena
por decir que la sangre circula en las venas
o afirmar que aunque llueva
haga Sol o nieve,
por mal que les pese
la Tierra se mueve.../...

El Tahúr del as de tréboles de Georges La Tour.

Teníamos ya una entrada en este blog en la que mostrábamos este cuadro de Georges La Tour. La titulábamos: "Los juegos de cartas, las Matemáticas y el Arte" y el nombre del cuadro era: "El tahúr del as de tréboles". La escena refleja a un tahúr, una prostituta y su criada, y entre los tres "despluman" a un joven rico, y en el que el tahúr saca desde el cinturón el as de diamantes. El autor hizo dos cuadros repetidos de esta temática, que salvo pequeñas diferencias, en esencia es idéntico -¡¡podríamos jugar a encontrar las diferencias!!-. Ahora se inaugura una exposición -desde el 23 de Febrero al 12 de Junio-del genial pintor barroco en el  Museo del Prado de Madrid. AMJ

Jacintos de Compostela: perfecta geometría hexagonal.

Los Jacintos de Compostela  son  ejemplares de cuarzo de color rojo o hematoideo procedentes de la formación de arcillas y yesos del Triásico superior–además del anhídrido silícico presenta óxido de hierro-. No solo  se presenta el cuarzo con el típico color rojo, si no que toma todas las coloraciones  desde el blanco transparente hasta el gris y el negro, pasando por los tonos naranjas, rosáceos, verdosos, amarillentos, etc. Su nombre, al parecer, viene dado por los peregrinos del camino de Santiago que llevaban ese cuarzo durante todo su camino, y algunos, incluso, lo vendían al llegar. Este mineral se halla muy extendido por todo el Levante español. Ya se utilizaba como talismán en la antigüedad: se han encontrado en Villajoyosa(Alicante) en tumbas de los íberos.

Cristaliza en el sistema Hexagonal: un prisma hexagonal  terminado en dos romboedros, que simulan  pirámides hexagonales. Pueden presentarse aisladas o en grupos de varias puntas.

Las Matemáticas y la Geometría están presentes en la Naturaleza: sólo falta buscarlas. Extraordinario nuestro "jacinto".AMJ

¡Burda manipulación de una estadística del crecimiento del PIB!

Mark Twain popularizó, achacándosela a Benjamin Disraeli -primer ministro conservador del Reino Unido-, la frase: “hay tres tipos de mentiras: mentiras, grandes mentiras y estadísticas” (there are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics).

Eso es lo que ha hecho TVE: manipular la presentación de un dato con una tabla estadística. La barra del crecimiento del PIB de 2015, que debería ser 3,2% es tres veces mayor que la de 2012 que es -2,6%. ¡¡Se presenta lo bueno aumentado más de lo permisible! ¡Además, burdamente! AMJ

¡¡La actualidad con ojos matemáticos!!

La actualidad vista con ojos matemáticos por Forges en esta viñeta de hoy 22 de Febrero en El Pais. AMJ

¡El arco iris perfecto y completo!

Imagen tomada desde un avión. Más que un arco es la circunferencia completa. AMJ

Matemáticas en "El nombre de la Rosa". Pequeño homenaje a Umberto Eco.

El pasado 19 de Febrero ha muerto Umberto Eco,” el hombre que lo sabía todo”. Un semiólogo que llegó al público con “El nombre de la Rosa” -30 millones de libros vendidos- y que escribió más de medio centenar de ensayos de variada temática, de ahí su sobrenombre de Sabio pero como escribe Juan Cruz, “era un sabio que conocía todas las cosas simulando que las ignoraba para seguir aprendiendo”. Esa es la clave. Umberto Eco nunca atropelló a nadie con su infinita sabiduría.

  En este rincón de Literatura y Matemáticas le vamos a traer todas  -o casi- las aventuras científicas  de Eco en “El nombre de la Rosa” y sus incursiones numéricas y matemáticas: las hay a gusto de todos. Como sabemos la novela “El nombre de la rosa” está ambientada  en el siglo XIV y narra la investigación que realizan Guillermo de Baskerville y Adso de Melk sobre una serie de misteriosos crímenes que suceden en una abadía de los Apeninos italianos, famosa por su impresionante biblioteca.

En esa obra vamos a comenzar por sus afirmaciones sobre la ciencia matemática:

Pues bien, Adso, usaremos las ciencias matemáticas. Sólo en las ciencias matemáticas, como dice Averroes, existe identidad entre las cosas que nosotros conocemos y las cosas que se conocen en modo absoluto.

-Entonces reconoced que admitís la existencia de conocimientos universales. -Los conocimientos matemáticos son proposiciones que construye nuestro intelecto para que siempre funcionen como verdaderas, porque son innatas o bien porque las matemáticas se inventaron antes que las otras ciencias. Y la biblioteca fue construida por una mente humana que pensaba de modo matemático, porque sin matemáticas es imposible construir laberintos. Por tanto, se trata de confrontar nuestras proposiciones matemáticas con las proposiciones del constructor, y puede haber ciencia de tal comparación, porque es ciencia de términos sobre términos.

                                 

 Haremos una recopilación abundante  de conceptos matemáticos y geométricos:

.../...Y lo que observamos, comentó Guillermo mientras me hacía tomar unos apuntes muy detallados en mi tablilla, fue que en cada muro había dos ventanas, y en cada torreón cinco. -Ahora razona --dijo mi maestro---. En cada una de las habitaciones que visitamos había una ventana...  -Salvo en las de siete lados. -Es natural, porque son las que están en el centro de cada torre. -Y salvo otras que no eran heptagonales y tampoco tenían ventanas. Olvídalas. Primero encontraremos la regla. Después trataremos de justificar las excepciones. Por tanto, en la parte exterior tendremos cinco habitaciones por torre y dos habitaciones por muro, cada una de ellas con una ventana. Pero si desde una habitación con ventana se camina hacia el interior del Edificio, aparece otra sala con ventana. Signo de que esas ventanas son internas. Ahora bien, ¿qué forma tiene el pozo interno, tal como se ve desde la cocina y el seriptorium? –Octagonal. -Perfecto. Y a cada lado del octágono pueden perfectamente abrirse dos ventanas. Eso significa, quizá, que en cada lado del octágono hay dos habitaciones internas. ¿Estoy en lo cierto? -Sí. pero ¿y las habitaciones sin ventana?  -En total son ocho. Cinco de las paredes de las salas heptagonales internas corresponden a otras tantas habitaciones en cada torreón. ¿A qué corresponden las dos paredes restantes? No a una habitación que daría al exterior, porque en tal caso deberían verse las ventanas en el muro. Tampoco corresponden a una habitación dispuesta junto al octágono, por las mismas razones, y además porque en ese caso serían habitaciones demasiado largas. En efecto, trata de dibujar la imagen de la biblioteca vista desde ’arriba, y verás que por cada torre deben existir dos habitaciones que limitan con la habitación heptagonal y que, por el lado opuesto, comunican con otras dos habitaciones, situadas a su vez junto al pozo octagonal interno. Intenté dibujar el plano que mi maestro me había sugerido, y lancé un grito de triunfo.  -¡Pero entonces ya lo sabemos todo! Dejadme contar... ¡La biblioteca tiene cincuenta y seis habitaciones, cuatro de ellas heptagonales, y cincuenta y dos más o menos cuadradas, ocho de estas últimas sin ventana, y veintiocho dan al exterior mientras dieciséis dan al interior!  -Y cada uno de los cuatro torreones tiene cinco habitaciones de cuatro paredes y una de siete... La biblioteca está construida de acuerdo con una proporción celeste a la que cabe atribuir diversos y admirables significados. -Espléndido descubrimiento, pero entonces, ¿por qué es tan difícil orientarse en ella?  -Porque lo que no corresponde a ley matemática alguna es la disposición de los pasos. Unas habitaciones permiten acceder a varias otras. Las hay, en cambio, que sólo permiten acceder a una única habitación. Incluso cabe preguntarse si no habrá habitaciones desde las, que sea imposible acceder a cualquier otra. Si piensas en esto, además en la falta de luz, en la imposibilidad de guiarse por la posición del sol, a lo que hay que añadir las visiones y los espejos, comprenderás que el laberinto es capaz de confundir a cualquiera que lo recorra, turbado ya por un sentimiento de culpa. Pienso, además, en lo desesperados que estábamos ayer noche cuando no lográbamos encontrar la salida. El máximo de confusión logrado a través del máximo de orden: el cálculo me parece sublime. Los constructores de la biblioteca eran grandes maestros. -¿Cómo haremos para orientarnos?

-Ahora no será difícil. Con el mapa que acabas de trazar, y que, mal que bien, debe de corresponder al plano de la biblioteca, tan pronto como lleguemos a la primera sala heptagonal trataremos de pasar a una de las dos habitaciones ciegas. Desde allí, si caminamos siempre hacia la derecha, después de tres o cuatro habitaciones, deberíamos llegar otra vez a un torreón, que sólo podrá ser el torreón septentrional, hasta que lleguemos a otra habitación ciega, que, por la izquierda, limitará con la sala heptagonal, y, por la derecha, deberá permitimos un recorrido similar al que acabo de describirte, al cabo del cual llegaríamos al torreón de poniente.  -Sí. Suponiendo que todas las habitaciones comuniquen con otras habitaciones... -Así es. Por eso necesitaremos tu plano, para marcar cuáles son las paredes sin abertura, y saber qué desviaciones vamos haciendo. Pero será bastante sencillo.  -¿Seguro que resultará? -pregunté perplejo, porque me parecía demasiado sencillo.  -Resultará. «Omnes enim causae effectuum naturalium dantur per lineas, angulos et figuras. Aliter enim. impossibile est scire propter quid in illis» -citó-. Son palabras de uno de los grandes maestros de Oxford. Sin embargo, lamentablemente, aún no lo sabemos todo. Hemos descubierto la manera de no perdernos. Ahora se trata de saber si existe una regla que gobierna la distribución de los libros en las diferentes habitaciones. Y los versículos del Apocalipsis no nos dicen demasiado, entre otras razones porque hay muchos que se repiten en diferentes habitaciones... -¡Sin embargo, del libro del apóstol habrían podido extraerse mucho más que cincuenta y seis versículos! -Sin duda. De modo que sólo algunos versículos sirven. Es extraño. Como si hubiese habido menos de cincuenta que sirvieran; treinta, veinte ... ¡Oh, por la barba de Merlín! -¿De quién?  -No tiene importancia, es ... un mago de mi tierra... ¡Han usado tantos versículos como letras tiene el alfabeto! ¡Sin duda es así! El texto de los versículos no importa, sólo importan las letras iniciales. Cada habitación está marcada por una letra del alfabeto, ¡y todas juntas componen un texto que debemos descubrir! -Como un carmen figurativo, ¡con forma de cruz o de pez!  -Más o menos, y es probable que en la época en que se construyó la biblioteca ese tipo de cármenes estuviesen de moda.  -¿Y dónde empieza el texto?  -En una inscripción más grande que las otras, en la sala heptagonal del torreón por el que se entra... 0 bien... Sí, ¡en las frases que están en rojo!  -¡Pero son tantas!

         

Y continuaba hablando sobre la Ciencia: 

Los franciscanos que yo había conocido en Italia y en mi tierra eran hombres simples, a menudo iletrados, y la sabiduría de Guillermo me sorprendió. Pero él me explicó sonriendo que los franciscanos de sus islas eran de otro cuño: «Roger Bacon, a quien venero como maestro, nos ha enseñado que algún día el plan divino pasará por laciencia de las máquinas, que es magia natural y santa…./…  …/…-¡Qué maravilla! -seguía diciendo Nicola-. Sin embargo, muchos hablarían de brujería y de manipulación diabólica. . . -Sin duda, puedes hablar de magia en estos casos -admitió Guillermo-. Pero hay dos clases de magia. Hay una magia que es obra del diablo y que se propone destruir al hombre mediante artificios que no es lícito mencionar. Pero hay otra magia que es obra divina, ciencia de Dios que se manifiesta a través de la ciencia del hombre, y que sirve para transformar la naturaleza, y uno de cuyos fines es el de prolongar la misma vida del hombre.

Esta última magia es santa, y los sabios deberán dedicarse cada vez más a ella, no sólo para descubrir cosas nuevas, sino también para redescubrir muchos secretos de la naturaleza que el saber divino ya había revelado a los hebreos, a los griegos, a otros pueblos antiguos e, incluso hoy, a los infieles (¡no te digo cuántas cosas maravillosas de óptica y ciencia de la visión se encuentran en los libros de estos últimos!). Y la ciencia cristiana deber recuperar todos estos conocimientos que poseían los paganos y poseen los infieles. -Pero, ¿por qué los que poseen esa ciencia no la comunican a todo el pueblo de Dios? -Porque no todo el pueblo de Dios está preparado para recibir tantos secretos, y a menudo ha sucedido que los depositarios de esta ciencia fueron confundidos con magos que habían pactado con el diablo, pagando con sus vidas el deseo que habían tenido de compartir con los demás su tesoro de conocimientos…./… …/…“Pero a menudo los tesoros de la ciencia deben defenderse, no de los simples, sino de los sabios. En la actualidad se fabrican máquinas prodigiosas, de las que algún día te hablaré, mediante las cuales se puede dirigir verdaderamente el curso de la naturaleza.”

        

Conceptos geométricos o el número y su significado aparecen por toda la novela. Veamos algunas muestras de ello:

…/… Tres órdenes de ventanas expresaban el ritmo ternario de la elevación, de modo que lo que era físicamente cuadrado en la tierra era espiritualmente triangular en el cielo. Al acercarse más se advertía que, en cada ángulo, la forma cuadrangular engendraba un torreón heptagonal, cinco de cuyos lados asomaban hacia afuera; o sea que cuatro de los ocho lados del octágono mayor engendraban cuatro heptágonos menores, que hacia afuera se manifestaban como pentágonos.

Evidente, y admirable, armonía de tantos números sagrados, cada uno revestido de un sutilísimo sentido espiritual. Ocho es el número de la perfección de todo tetrágono; cuatro, el número de los evangelios; cinco, el número de las partes del mundo; siete, el número de los dones del Espíritu Santo…/… Como las ventanas eran cuarenta (número verdaderamente perfecto, producto de la decuplicación del cuadrágono, como si los diez mandamientos hubiesen sido magnificados por las cuatro virtudes cardinales)…/…

Y sobre  el número 3 escribía: -Admirable fortaleza --dijo,--, en cuyas proporciones refulge la misma regla áurea que guió la construcción del arca. Dispuesta en tres plantas, porque tres es el número de la trinidad, tres fueron los ángeles que visitaron a Abraham, los días que pasó Jonás en el vientre del gran pez, los que Jesús y Lázaro permanecieron en el sepulcro; las veces que Cristo pidió al Padre que apartase de él el cáliz amargo, las que se retiró para rezar con los apóstoles. Tres veces renegó Pedro de él, y tres veces apareció ante los suyos  después de la resurrección. Tres son las virtudes teologales, tres las lenguas sagradas, tres las partes del alma, tres las clases de criaturas intelectuales, ángeles, hombres y demonios, tres las especies del sonido, vox, flatus y pulsus; tres las épocas de la historia humana, antes, durante y después de la ley.

También sobre el número 4:   …/…-Pero también la forma cuadrada -prosiguió el Abad- es rica en enseñanzas espirituales. Cuatro son los puntos cardinales, las estaciones, los elementos, y el calor, el frío, lo húmedo y lo seco, el nacimiento, el crecimiento, la madurez y la vejez, y las especies celestes, terrestres, aéreas y acuáticas de los animales, los colores que constituyen el arco iris y la cantidad de años que se necesita para que haya uno bisiesto. -¡Oh, sin duda! Y tres más cuatro da siete, número místico por excelencia, y tres multiplicado por cuatro da doce, como los apóstoles, y doce por doce da ciento cuarenta y cuatro, que es el número de los elegidos…./…

Sobre las unidades de medida:   -En cuanto a eso, una familia normal llega a tener unas cincuenta tablas de terreno. -¿Cuánto es una tabla? -Naturalmente, cuatro trabucos cuadrados. -¿Trabucos cuadrados? ¿Y cuánto es eso? Treinta y seis pies cuadrados por trabuco. 0, si prefieres, ochocientos trabucos lineales equivalen a una milla piamontesa. Y calcula que una familia, en las tierras situadas hacia el norte, puede cosechar aceitunas con las que obtienen no menos de medio costal de aceite. -¿Medio costal? -Sí, un costal equivale a cinco heminas, y una hemina a ocho copas. -Ya entiendo -dijo mi maestro desalentado-. Cada país tiene sus propias medidas. Vosotros, por ejemplo, ¿medís el vino por azumbres? ---0 por rubias. Seis rubias hacen una brenta, y ocho brentas un botal. Si lo prefieres, un rubo equivale a seis pintas de dos azumbres.

Había más pero con la muestra nos vale para “certificar” el acertado acercamiento de Umberto Eco a la Ciencia. Desde aquí este pequeño homenaje a quien tanto nos dio. AMJ

Geometría milanesa.

(Milano da vedere, en Flickr). AMJ

Fractales de Tom Beddard.

Tom Beddar -conocido como sub.blue- es un físico escocés reconvertido en artista que realiza lo que llama Fractales de Fabergé, unas formas geométricaas  en 3D generados por fórmulas iterativas. Espectaculares. AMJ

La iglesia St George's-in-the-Pines en Banff (Alberta, Canada): geometría y sencillez.

La iglesia anglicana St. Georges-in-the-Pines en Banff, Canadá, se construyó en 1889 y de ella nos ha sorprendido su sencillez y sus "primarias" decoraciones geométricas que hemos encontrado en su fachada principal. AMJ

¡Las funciones y las fábricas de salchichas!

"Disculpe, pero en la época de Internet, usted, ¿para qué sirve?" . Homenaje a Umberto Eco.

Hoy, 19 de Febrero, ha muerto Umberto Eco. Fue un escritor y filósofo italiano, experto en semiótica, célebre sobre todo por su novela El nombre de la rosa. Hoy, como tributo a su valía y a su lucidez les dejamos este artículo de  Agosto de 2015:  ¿De qué sirve el profesor? .

 En el alud de artículos sobre el matonismo en la escuela he leído un episodio que, dentro de la esfera de la violencia, no definiría precisamente al máximo de la impertinencia... pero que se trata, sin embargo, de una impertinencia significativa. Relataba que un estudiante, para provocar a un profesor, le había dicho: "Disculpe, pero en la época de Internet, usted, ¿para qué sirve?"

El estudiante decía una verdad a medias, que, entre otros, los mismos profesores dicen desde hace por lo menos veinte años, y es que antes la escuela debía transmitir por cierto formación pero sobre todo nociones, desde las tablas en la primaria, cuál era la capital de Madagascar en la escuela media hasta los hechos de la guerra de los treinta años en la secundaria. Con la aparición, no digo de Internet, sino de la televisión e incluso de la radio, y hasta con la del cine, gran parte de estas nociones empezaron a ser absorbidas por los niños en la esfera de la vida extraescolar.

De pequeño, mi padre no sabía que Hiroshima quedaba en Japón, que existía Guadalcanal, tenía una idea imprecisa de Dresde y sólo sabía de la India lo que había leído en Salgari. Yo, que soy de la época de la guerra, aprendí esas cosas de la radio y las noticias cotidianas, mientras que mis hijos han visto en la televisión los fiordos noruegos, el desierto de Gobi, cómo las abejas polinizan las flores, cómo era un Tyrannosaurus rex y finalmente un niño de hoy lo sabe todo sobre el ozono, sobre los koalas, sobre Irak y sobre Afganistán. Tal vez, un niño de hoy no sepa qué son exactamente las células madre, pero las ha escuchado nombrar, mientras que en mi época de eso no hablaba siquiera la profesora de ciencias naturales. Entonces, ¿de qué sirven hoy los profesores?

He dicho que el estudiante dijo una verdad a medias, porque ante todo un docente, además de informar, debe formar. Lo que hace que una clase sea una buena clase no es que se transmitan datos y datos, sino que se establezca un diálogo constante, una confrontación de opiniones, una discusión sobre lo que se aprende en la escuela y lo que viene de afuera. Es cierto que lo que ocurre en Irak lo dice la televisión, pero por qué algo ocurre siempre ahí, desde la época de la civilización mesopotámica, y no en Groenlandia, es algo que sólo lo puede decir la escuela. Y si alguien objetase que a veces también hay personas autorizadas en Porta a Porta (programa televisivo italiano de análisis de temas de actualidad), es la escuela quien debe discutir Porta a Porta. Los medios de difusión masivos informan sobre muchas cosas y también transmiten valores, pero la escuela debe saber discutir la manera en la que los transmiten, y evaluar el tono y la fuerza de argumentación de lo que aparecen en diarios, revistas y televisión. Y además, hace falta verificar la información que transmiten los medios: por ejemplo, ¿quién sino un docente puede corregir la pronunciación errónea del inglés que cada uno cree haber aprendido de la televisión?

Pero el estudiante no le estaba diciendo al profesor que ya no lo necesitaba porque ahora existían la radio y la televisión para decirle dónde está Tombuctú o lo que se discute sobre la fusión fría, es decir, no le estaba diciendo que su rol era cuestionado por discursos aislados, que circulan de manera casual y desordenado cada día en diversos medios –que sepamos mucho sobre Irak y poco sobre Siria depende de la buena o mala voluntad de Bush. El estudiante estaba diciéndole que hoy existe Internet, la Gran Madre de todas las enciclopedias, donde se puede encontrar Siria, la fusión fría, la guerra de los treinta años y la discusión infinita sobre el más alto de los números impares. Le estaba diciendo que la información que Internet pone a su disposición es inmensamente más amplia e incluso más profunda que aquella de la que dispone el profesor. Y omitía un punto importante: que Internet le dice "casi todo", salvo cómo buscar, filtrar, seleccionar, aceptar o rechazar toda esa información.

Almacenar nueva información, cuando se tiene buena memoria, es algo de lo que todo el mundo es capaz. Pero decidir qué es lo que vale la pena recordar y qué no es un arte sutil. Esa es la diferencia entre los que han cursado estudios regularmente (aunque sea mal) y los autodidactas (aunque sean geniales). 

El problema dramático es que por cierto a veces ni siquiera el profesor sabe enseñar el arte de la selección, al menos no en cada capítulo del saber. Pero por lo menos sabe que debería saberlo, y si no sabe dar instrucciones precisas sobre cómo seleccionar, por lo menos puede ofrecerse como ejemplo, mostrando a alguien que se esfuerza por comparar y juzgar cada vez todo aquello que Internet pone a su disposición. Y también puede poner cotidianamente en escena el intento de reorganizar sistemáticamente lo que Internet le transmite en orden alfabético, diciendo que existen Tamerlán y monocotiledóneas pero no la relación sistemática entre estas dos nociones.

El sentido de esa relación sólo puede ofrecerlo la escuela, y si no sabe cómo tendrá que equiparse para hacerlo. Si no es así, las tres I de Internet, Inglés e Instrucción seguirán siendo solamente la primera parte de un rebuzno de asno que no asciende al cielo.

 Sin duda como han titulado por ahí: "El hombre que lo sabía todo". D.E.P. AMJ

Athanasius Kircher y las Pirámides de Giza.

En el año 1676    el jesuita, políglota, científico, erudito   Athanasius Kircher publicó el libro Sphinx Mystagoga, donde estudia el antiguo Egipto y nos deja esta preciosa imagen  de las Pirámides de Giza, tal como el las imaginaba basadas en las historias contadas por los viajeros. Pueden ver el libro completo -en latín- en este enlace. AMJ

Las pirámides en la antigua Roma.

Uno de los más antiguas representaciones de las pirámides de Egipto. Data de finales del siglo XIII y  pertenecen a un mosaico de la Basílica de San Marcos en Roma y representa a José llevando haces de trigo a la puerta de una pirámide: la creencia cristiana de que las pirámides servían como almacén para los años de escasez. AMJ

Un día 19 de Febrero nació Nicolás Copérnico.

Un día como hoy, 19 de Febrero, de 1473 nació el astrónomo y matemático Nicolás Copérnico. AMJ

Geometría decorativa. Mosaico marroquí en Marrakech.

Mosaico con decoración geométrica en Marrakech(Marruecos). (Foto Carlos ZGZ). Impresionante. AMJ

Los dibujos matemáticos de Kasia Jackowska

Cálculo integral: Área	Teoría de conjuntos:Intersección.
Topología. Botella de Klein. (Concepto de Infinito)	Geometría pitagórica.

(Fractales)

Kasia es una artista y arquitecta residente en Zurich(Suiza) que un día empezó a dibujar, de tal manera que sus  obras parecían sacadas de un cuento de hadas. Algunas de ellas tenían contenidos matemáticos, que son las que les traemos por aquí. Ha expuesto en numerosos lugares y sus dibujos parecen hipnotizarnos. Sublime. AMJ