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Marcel Grossmann: la influencia decisiva.

Marcel Grossmann: la influencia decisiva.

Detrás de un genio siempre hay otras personas que ayudan, colaboran, aconsejan… y que probablemente sin ellos hubiese sido imposible llegar hasta la cima de su trabajo y alcanzar, por ende, el éxito. En muchos casos se trata del cónyuge quién está detrás como soporte emocional y afectivo; pero en otros casos es un colega de una disciplina que le allana el camino. Se puede  preguntar uno si a Albert Einstein le ocurrió una cosa parecida. Parece ser que el matemático  húngaro Marcel Grossmann tuvo algo que ver en el éxito científico del genio Albert Einstein.

 ¿Quién era Marcel Grossmann? Era un matemático y geómetra húngaro, de Budapest, nacido un día como hoy, 9 de Abril de 1878.Estudió la secundaria en Basilea y matemáticas en Zurich, donde se doctoró y fue profesor de Geometría Descriptiva. Fue amigo de Einstein en su juventud y éste recurrió a  Grossmann para que lo introdujera en los estudios del Cálculo Diferencial y la prueba de su colaboración es el artículo de Einstein-Grossmann sobre la teoría general de la relatividad publicado en 1913. Fue uno de los colaboradores de Einstein, en la rama de las Matemáticas, pues sus conocimientos eran, en esta materia, muy superiores a los del propio Einstein.

                        
Eran de personalidades totalmente distintas: Grossmann era formal y respetuoso, mientras Einstein era rebelde y desordenado; pero fueron amigos hasta su muerte en 1936.

 Gracias a Grossmann, a través de su padre, el joven Einstein consiguió un puesto de trabajo en la Oficina de Patentes Suiza. Más tarde cuando Grossmann era decano de física  del Politécnico de Zurich le ofreció un puesto de profesor, que Einstein aceptó( por un año). Ambos contrastaban sus ideas después incluso de que Einstein se marchara a Berlín y estaba al corriente de sus investigaciones y consultando las cuestiones matemáticas más ásperas. Pero la enfermedad llegó a su vida. Grossmann enfermó de   esclerosis múltiple, que lo llevó a la muerte en 1936. El afecto de  Einstein traspasó la frontera individual y llegó hasta la familia de Grossmann, a la que hasta el final de su vida le demostró un cariño especial en recuerdo a su amistad juvenil y su colaboración profesional e investigadora.

                           

Algún blog por ahí dice de él que fue “un facilitador de talento”.

 En su conmemoración  se celebran cada tres años  las reuniones Marcel Grossmann por el International Center for Relativistic Astrophysics.

 Una buena biografía de Grossmann en Experientia docet.

Detrás de cada persona siempre hay alguien que le facilita el camino, como decíamos al principio, y que no siempre se beneficia de los éxitos cosechados por el líder. Sirvan estas líneas de homenaje   a este hombre que colaboró de manera inestimable con uno de los más grandes científicos de la historia de la humanidad: Albert Einstein. AMJ

Números "fibonazis".

Números "fibonazis".

Aunque no me gusta el humor negro con estos individuos, en este caso los "fibonazis" 1,1,2,3,5,8,.....serán una excepción.( De Foolish images). AMJ

Los huevos de Pascua "matemáticos".

En muchos lugares de España se comían los huevos duros después de Cuaresma, pues los huevos se consideraban carne.Pero como las gallinas seguían poniendo y la cosa no estaba para tirar nada, había que conservarlos de alguna manera: cociéndolos. Desde ahí hasta ahora se han elaborado de muy distintas formas:  los hornazos , los huevos de Pascua, las monas de Pascua(no proviene del nombre animal, sino que el nombre proviene de la munna término árabe que significa «provisión de la boca», regalo que los moriscos hacían a sus señores),…..Aquí traemos  los nuestros: los huevos matemáticos, en este lunes de Pascua.

                      

Puede definirse un ovoide como  una curva cerrada plana conformada por cuatro arcos de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y otros dos son iguales y simétricos(de Wikipedia).Fue estudiado por Kepler(1609) y Viviani(1647). Su nombre deriva de su parecido con la sección longitudinal de un huevo. Si lo hacemos girar en torno a su eje de simetría obtenemos el huevo(el ovoide de Kepler).

                    
Ecuación en polares : .
Ecuacion cartesiana:  

Ovoide de Kepler 

                        

Visto así queda un poco soso : sólo falta adornarlo, y si es matemáticamente mejor.AMJ

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¡Cuidado con los matemáticos!

"El buen cristiano deberá guardarse de los matemáticos y de todos aquellos que practican la predicción sacrílega, particularmente cuando proclaman la verdad. Porque existe el peligro de que esta gente, aliada con el diablo, pueda cegar las almas de los hombres y atraparlos en las redes del infierno".

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De San Agustín(Agustín de Hipona),  de genesi ad litteram 2, XVII, 37. Realmente se refería a los astrónomos( considerados como matemáticos en su época).

 Ahora que ha pasado Semana Santa, traemos esta cita esperando que no se la tomen al pie de la letra.AMJ

Luis Raluy, el payaso matemático.

 

De todos es bien sabido que a estas páginas del blog hemos traído a matemáticos polifacéticos y que han compartido sus saberes  matemáticos  con otras especialidades. Hoy traemos aquí a Luis Raluy un matemático “payaso” o un payaso “matemático”. Vayamos por partes. ¿quién es Luis Raluy?. Pues se trata de un payaso, sí, un payaso, que trabaja a diario en el circo. No de esos que vemos tanto por ahí y en cualquier especialidad. Es payaso payaso. Y por eso nos sorprende tanto, que alguien con ese oficio de hacer reír a los más pequeños y mayores, su segunda afición son las Matemáticas. Pero no es un hobby para pasar el tiempo haciendo sudokus o similares. Se trata de Matemáticas de alto nivel, y tanto es así  que ha publicado varios libros de la materia.

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 Pasamos a contar un poco su vida. Acaba de cumplir 70 años y es catalán, hijo de Artista de circo y lleva toda su vida dando vueltas con su carromato por toda España y el extranjero, haciendo gala de su profesión, una de las más decentes, difíciles y honradas de este mundo: payaso. Ya desde pequeño su amor hacia las Matemáticas fue evidente y en la Isla Reunión conoce a un profesor de Matemáticas, del cual fue amigo toda su vida hasta hoy, que le inculca el amor por la materia. A partir de aquí y de su interés y esfuerzo y sin pasar por ninguna Universidad (de vez en cuando le surgían dudas y se acercaba por la más próxima, para resolverlas) sus estudios van tomando altura incluso para participar de conferenciante en varios congresos de físicos y matemáticos (en Córdoba(Arg) , Durban y Birmingham). Presentó en Puerto Rico su teoría “Visión matemática del espacio” y en el 1996 propuso “una solución” al irresoluble problema, según Wantzel, de la trisección del ángulo con regla y compás, en 1997 publicó “ Ingeniosa teoría del espacio y del tiempo”.

           

En una entrevista última en infocirco nos dice entre otras cosas: Cuando estoy triste, estudio matemáticas y me levanta la moral.  Véase también la de El Periódico.

Viajero infatigable por todo el mundo, con sus carromatos de gitanos decorados  estilo siglo XVIII, pintados con cartelería imposible de imitar (también es un artista con el pincel) , guarda algunas  anécdotas como ésta: después de actuar en Nueva York el 23 de Febrero( el de Tejero) se embarcaron hacia el África de habla francesa y al no tener dinero para volver estuvieron varios años dando vueltas por el continente…..

Premio Nacional de Circo 1996 y Premio Max 1999 de SGAE. Anda envuelto ahora en el intento de demostrar un problema de hace 25 siglos: la fórmula que genera los números primos hasta el infinito, e incluso una solución a la conjetura de Goldbach.¿Lo conseguirá? Si lo hace entrará en la Historia de la Ciencia, si no….

    Luis Raluy

   El mundo está lleno de gente interesante, esforzada, estudiosa, artista… que permanece en el anonimato, pues sus quehaceres no producen plusvalías, que al parecer son las únicas fuentes de atención en estos tiempos. Todo lo que no produzca valor añadido será dejado de lado, en este mundo economicista que nos ha tocado vivir.

                                Luis Raluy

Desde estas humildes páginas nuestro reconocimiento a este singular artista, único  en el mundo, al que deseamos larga  y fructífera vida, tanto en su labor circense como matemática, esperando que algunos de sus retos los lleve a buen puerto, por su bien y el de la ciencia .AMJ

    Añadido:Posteriormente a esta entrada,el 23 de Abril,leí una entrañable entrevista en La Vanguardia, que les enlazo.AMJ                           

El cordero-16

El cordero-16

Barbadillo, en la Costa del Sol.

Barbadillo, en la Costa del Sol.

 Ya habíamos hecho una entrada en este blog con el extraordinario pintor andaluz Manuel Barbadillo, al que nombrábamos como  el pintor informático. Paseando por el centro de Fuengirola se puede ver este mural de dimensiones gigantescas de una obra suya.Forma parte de lo que se llama Museo Abierto. Como decía El País en 1983(en crónica de F. Calvo Serraller), se trata de auténticos cuadros de gran formato. Este de Barbadillo se inauguró el 20 de Diciembre de 1982.AMJ

Futuro

Futuro

Cuando la educación y enseñanza públicas no proporcionan horizontes válidos para nuestra juventud, algo está pasando y es grave. El Roto, en El País del Sábado 31 de Marzo lo recoge tal como él solo lo puede hacer.AMJ

Paul Wolfskehl, el matemático “olvidadizo”: un problema le salvó la vida.

Paul Wolfskehl, el matemático “olvidadizo”: un problema le salvó la vida.

  Han sido muchos matemáticos los que hemos estudiado en este blog, la mayoría de ellos porque han tenido una vida desventurada , aciaga, adversa o en ambientes y  situaciones complicadas para la investigación matemática. A casi todos ellos les han ocurrido peripecias, persecuciones o se  han visto envueltos en todo tipo de circunstancias. Pero éste, Paul Wolfskehl presenta otra casuística distinta: tenía  su suicidio programado. Contémoslo más despacio.

  Nació en Darmstadt (Alemania)en 1856 y murió en 1906.A la muerte  de su padre, un bastante rico banquero judío, su hermano mayor y él se hicieron cargo del banco. Se doctoró en Medicina, pero una enfermedad complicada-la esclerosis múltiple- hizo que la dedicación médica tuviera que cambiarla por otra actividad: las Matemáticas. Aquí podía pensar, trabajar e investigar y hacer así más llevadera la enfermedad. Pero nada de esto estaba reñido con el amor: se enamoró de una mujer pero, azares de la vida, ésta no sentía lo mismo y  el rechazo lo llevó a una de las salidas más controvertidas. Eligió el  suicidio como salida a su amor despreciado.; además lo hizo todo programado: día y hora concretos. Cuando llegó ese día, comenzó a redactar el testamento, cosa que los mortales hacemos en otros momentos de nuestra vida. Pero llegó aquí “el problema que le salvó la vida a un hombre” (capítulo del libro de Davis y Chinn).

 

  Resulta que el famoso último teorema de Fermat estaba siendo estudiado por Kummer y a su parecer tenía un error, que el se dedicó a intentar desentrañar en esos últimos momentos de de su vida. Pero a veces los humanos, y los matemáticos con frecuencia, nos quedamos pensando en problemas para intentar solucionarlos y embelesados así se pasa el tiempo sin darnos cuenta. Y esto le ocurrió a nuestro Paul. Se le pasó el tiempo del suicidio programado, y hete aquí que cambió de opinión. Decidió no suicidarse, tiró el testamento a la basura, y dado que el problema le había salvado la vida, creó un premio: el Premio Wolfskehl dotado con 100.000 marcos para aquel que demostrara el teorema de Fermat, siempre antes del 13 de Septiembre de 2007 (no se sabe porqué). Romántica historia. El premio se lo llevó Andrew Wiles en Junio de 1997.

               

Hay por ahí otra versión de lo ocurrido. Klaus Barrer en Notices of the American Mathematical Society  (de Nov/1997, vol.44 núm.10) propone otra explicación también verosímil: fue obligado a casarse con una solterona mayor que él, Marie Frolich, que se reveló como una maligna fémina, haciéndole imposible los últimos años de su vida y estableció el premio  por su decisión de no dejarle todo el dinero a su mujer y sí a “la teoría de números”, el único amor de su vida y que le dio sentido a los últimos años de su vida.

 Cualquiera de las dos versiones es atractiva, pero me quedo con la primera. Decidan ustedes.Pueden enlazar con Gaussianos, con una entrada muy completa sobre el tema. AMJ.

Fuente solar en la plaza de Cuba-Sevilla

Fuente solar en la plaza de Cuba-Sevilla

Esta fuente solar instalada en el barrio de Los Remedios(Plaza de Cuba) en Sevilla es la primera fuente solar instalada aquí, en nuestro país. Funciona por energía fotovoltaica, que eleva el agua a cuatro metros de altura; excepto por la noche o en días nublados que será una escultura¿matemática?. A mí me lo parece. El problema es que ,como se supone, si pasa un nublado, la fuente deja de funcionar.AMJ

π en los tribunales.

En los tribunales americanos habíamos visto ya de todo.Igualmente sabemos que los americanos litigan en los tribunales por casi todo; aunque supongo que serán más rápidos que los españoles, de lo contrario el atasco judicial sería fenomenal. También de π se ha hablado y escrito mucho: canciones, poemas, trillones de cifras decimales,…

 En la historia que traemos hoy por aquí andan los números por medio, en este caso  el ínclito π. Sí π, el nuestro, el irracional y trascendente el que hemos celebrado su día hace muy poco, éste que puede escribirse como 3,141592…….. La razón no es otra que ha sido llevado a los tribunales, pero ¡¡¡tranquilos!!! : no ha habido asesinatos ni robos por medio. La causa de esta comparecencia judicial es la reclamación por “apropiación indebida” de sus cifras. Lo explicamos, tal como lo hace el diario El País o NewsCientist, a continuación: el músico de jazz Lars Ericsson demanda al músico Michael Blake, que compuso en 2011 una melodía electrónica llamada ”What Pi sounds like”  creada de la siguiente manera: a cada uno de los decimales de π le fue asignando una nota musical. A partir de aquí se hizo famoso.

                 
  La demanda proviene del primero de ellos, Blake, ante un tribunal de Nebraska, argumentando que ya él había compuesto en 1992 una sinfonía(Pi Symphony) por el mismo procedimiento. Ya se ha emitido sentencia y el juez Simon  resuelve que π no es de nadie, que no está sujeto a derechos de autor(“is a non- copyrightable fact.”) y tampoco la idea de convertirlo en música.Aquí podemos enlazar con la sentencia(en inglés). Podemos por lo tanto seguir investigando, escribiendo sobre él, haciendo poemas o canciones, porque este señor juez  de Nebraska ha sentado jurisprudencia(además el 14 de Marzo, para más inri). Alabado sea. Necesitamos muchos así: el arte de apropiarse de lo ajeno, de lo público o de lo universal, tanto material como inmaterial, está muy extendido. ¡¡¡Larga vida a π!!!, que la ha tenido y la tendrá.AMJ



Endré Szmerédi: Premio Abel 2012.

Endré Szmerédi: Premio Abel 2012.

 La Academia Noruega de Ciencias y Letras ha otorgado el premio Abel 2012 al matemático húngaro Endré Szemerédi, por “sus contribuciones fundamentales a la matemática discreta y a la computación teórica, y en  el  reconocimiento del profundo y duradero impacto de estas contribuciones a la teoría de números y a la teoría ergódica”  . El Premio Abel de Matemáticas  es considerado el Nobel en esta materia, y está dotado con un millón de dólares, que le será entregado hoy 22 de Marzo en Oslo.

 Szemerédi es un matemático húngaro de 71 años, vinculado actualmente a la Academia Húngara de las Ciencias y al departamento de Informática de la Universidad de New Jersey , en Estados Unidos. Su influencia matemática es muy elevada y sus aportaciones a la investigación matemática son muy valiosas. Citaremos aquí como una de ellas el Teorema de Szemerédi que dice: Si la densidad de un conjunto infinito de enteros es positiva, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas”.

 Para saber más sobre este matemático pueden verse los artículos de la prensa  de hoy en El País, ABC, en la Wikipedia, en el blog Gaussianos  o incluso en la propia página de la Academia Noruega.AMJ

La vaca(francesa)

La vaca(francesa)

 Del blog francés Le blog-notes mathématique du coyote, que tiene una tira de humor con la vaca como elemento principal y reflexivo.¡¡Creo que no es necesaria traducción!!.AMJ

2º Aniversario

2º Aniversario

Hoy 22 de Marzo cumplimos dos años de andadura en este mundo de la blogosfera, en el que ya  hemos conseguido 95.215 visitantes(de ellos 83.000 en el último año),  a una media de más de 200 diarios,con cientos de miles de páginas vistas.

Seguimos transmitiendo y divulgando ciencia matemática, con una pizca de humor cuando es posible.....Gracias a todos:lectores y alumnos. Gracias a nuestros amigos del otro lado del océano, de habla hispana, que ya superan a los españoles en cuanto a visitas se refiere. Mil gracias. Saludos.AMJ. 

La vaca-14

La vaca-14

¡¡¡Viva la Pepa!!!

 

   
Hoy 19 de Marzo se cumple el bicentenario de la promulgación en Cádiz de la primera Constitución Española, siendo además una de las más liberales de su tiempo. Su nombre proviene, al parecer, al ser promulgada el día de San José y duró bastante poco (como ha sucedido en España a lo largo de la Historia con los avances progresistas), sólo 2 años, pues fue derogada el 4 de Mayo de 1814 por Fernando VII( aunque se volvió a aplicar en el trienio liberal 1820-1823), aunque ni en esos períodos de tiempo fue aplicada completamente ya que a consecuencia de la invasión napoleónica los tiempos políticos fueron muy revueltos y confusos.

La Constitución establecía entre otros derechos: la libertad de expresión, la separación de poderes, el sufragio universal(aunque masculino todavía), la libertad de imprenta y de industria, a la inviolabilidad del domicilio,a la igualdad de los ciudadanos ante la ley......y  la razón por la que traemos a este blog esta celebración: el derecho a la educación. Pasará a la historia como la única Constitución Española que ha dedicado un Título exclusivo a la educación. Puede verse todo el articulado del  Título IX en el enlace , que entre otras cuestiones recoge: a)Creación de escuelas de primeras letras, b)creación de universidades suficientes para la enseñanza de las Ciencias, Literatura y Bellas Artes, c)Plan General de enseñanza en todo el reino d)Creación de una dirección general de estudios......

 
Constitución 1812
Constitución 1978
Tendencia o corriente política
Liberalista: progreso social y cultural, nuevo régimen político.
Democrática
Legislación
Primera en recoger un artículo sobre Educación.
Artículos: Libertad de Enseñanza, Derecho a la Educación, y Autonomía Universitaria.
Objetivo
Alfabetizar.
Pleno desarrollo de la personalidad humana, del respeto a los principios de convivencia y a los derechos y libertades fundamentales.
Religión
Católica.
Elección de las familias.
Enseñanza
Primaria y Pública.
Básica, obligatoria y gratuita.
Gobierno de los centros
Estado.
Existencia de varios tipos de poderes funcionales.

Los liberales cantaban ¡¡¡Viva la pepa!!! demostrando así su adhesión a la Constitución de Cádiz, que se convirtió, posiblemente, en el primer lema político de la edad contemporánea; junto a otro lema ¡¡¡trágala!!! dirigido a Fernando VII, que tuvo que jurar la Constitución en 1820.

 Monumento a las Cortes Como dicen en Cádiz, con mucha gracia(los que somos gaditanos y los que no), los gaditanos podemos nacer donde nos salga de los co......,y que recoge el coro de Julio Pardo(Carnaval de Cádiz) en este cuplé:

DICEN QUE SER GADITANO/ES UN PRIVILEGIO DE LOS QUE NACIERON /EN ESTA CIUDAD /DICEN DE LOS GADITANOS /QUE NACEN POR CUALQUIER LADO /QUE EL SITIO NO IMPORTA NA. /COMO PRETENDE CONVENCERNOS EL QUE ES DE FUERA /QUE ESTA ES SU TIERRA Y COMO YO LA QUIERE IGUAL /SI NUNCA DESDE CHIQUILLO /CORRIÓ POR SUS CALLEJUELAS/ NI SUPO DE PAPELILLOS /NI VIVE CON SUS PROBLEMAS /DICEN QUE SER GADITANO /ES NACER CON DOS VIENTOS Y EL PUENTE CANAL /PUES MIRA PA LA CALETA /Y LUEGO ME CONTARAS /QUE PACO ALBA ESTA ALLÍ /DE LA CALETA SOBERANO, SOBERANO /QUE AUNQUE NACIERA EN CONIL /QUIEN DUDA AHORA DE QUE FUERA GADITANO /QUIEN NO RECUERDA A QUIÑONES /EN LA ORILLA LIMPIÁNDOLA CADA MAÑANA /QUIEN DUDA QUE NOS QUISIERA /PORQUE EN VEZ DE CAI NACIÓ EN CHICLANA /MUY CERCA Y MIRANDO AL MAR /DOS GADITANOS DE SEVILLA Y DE GRANÁ /QUE SIN DEJAR GIRALDAS Y SACROMONTES /SUPIERON DAR UN SITIO EN SUS CORAZONES /A UN CÁDIZ DE SUS AMORES /QUE QUISIERON DE VERDAD /NO DUDEN MÁS, QUE ACABEN LAS DISCUSIONES/ QUE LO HAN DECIDÍO LOS DIOSES /
QUE LOS DE CAI NACERAN (BIS) /SIN DAR MÁS EXPLICACIONES /DONDE LE SALGA, LE SALGA DE LOS COJONES./

En la prensa de este este 19 de Marzo hay distintos especiales conmemorando este día, que pueden enlazar en: El País, El Mundo, La Vanguardia o ABC. También en Radio Nacional puede seguirse en un audio, o en  un documental de RTVE.

Celebremos todos, pues, esta Constitución, progresista y avanzada en su tiempo. AMJ

La mirada Matemática, las artes y el patrimonio.

La mirada Matemática, las artes y el patrimonio.

El Museo de Historia de Barcelona, desde el 17 de Marzo al 6 de Mayo pone de relieve, en una exposición itinerante, las diversas relaciones entre las Matemáticas y el Arte, todo ello refrendado en el patrimonio de la ciudad de Barcelona.  Se ha puesto de relieve desde  la mecánica del reloj de la Catedral hasta las estaciones del metro de la ciudad. El planteamiento global de la exposición es  proponer una mirada científica a los monumentos patrimoniales de la ciudad. Han colaborado desde la RSME, el Museu d’Història y distintos colectivos matemáticos de la ciudad de Barcelona. Crónica en El País o en  la página del Museu d’Història de Barcelona puede verse una información detallada y completa de la exposición.AMJ

Códigos secretos: Números.

El Canal Odisea es un canal de televisión dedicado, exclusivamente, a documentales de todo tipo, que en España puede verse en las plataformas Canal +; Movistar, Ono,Telecable, Euskaltel,.... Este documental de Los números es extraordinario, del matemático inglés y profesor de Oxford  Marcus du Sautoy, especialista en teoría de números. Trata de la importancia de los números como explicación de todo el universo que nos rodea, desde la construcción de las catedrales a la vida de las cigarras,.... y también de los patrones que rigen nuestro mundo. Así como códigos ocultos en la naturaleza, como en las formaciones basálticas, los panales de las abejas, los cristales de sal o las burbujas del jabón. Incluso se puede predecir el futuro. Los números encierran los códigos secretos del funcionamiento de la naturaleza.

 Muy completo e interesante documental sobre  números.   Disfrútenlo. AMJ

14 de Marzo: día de Pi.

14 de Marzo: día de Pi.

Celebramos hoy el día de Pi, en atención a la forma de escribir en inglés el 14 de Marzo(3-14). En este enlace de Matemolivares tenemos una entrada muy completa de este día, subida el año pasado. Como anécdota, en esta página pueden ver 4 millones de cifras decimales de pi. También pueden ver el entretenido vídeo de Vihart sobre la ¿aleatoriedad? de las cifras decimales de pi, de tal manera que si codificamos y a cada letras le asociamos un número, en la secuencia decimal de pi nos encontraremos las obras de Shakespeare.AMJ

El mundo es matemático.

El mundo es matemático.

Desde este fin de semana pasado(11 de Marzo) el diario madrileño ABC, y  parece que otros medios de su grupo editorial, Vocento, también siguen la misma iniciativa, nos ofrece una nueva colección, en este caso, matemática, titulada así   " El mundo es matemático" de RBA Colecciones. El enlace con la presentación es: http://www.abcmundomatematico.com/2544937/presentacion/. o en formato PDF http://www.abcmundomatematico.com/flip/2544937/catalogo.pdf.  AMJ