Mersenne y sus primos.

Marin Mersenne - The Birth of Modern Geometry por Franc_6

No. No es lo que parece. No se trata de estudiar al bueno de Mersenne ni a su familia. No. Se trata de explicar algunas noticias aparecidas en los medios de comunicación últimamente.

 Llevamos días viendo por la prensa algunas noticias sobre el descubrimiento del número primo más grande encontrado hasta ahora y en todas ellas aparece por medio el nombre de Mersenne.  La cuestión es que hay  bastantes errores en la noticia   en algunos medios de comunicación. Nosotros lo sabemos pero ellos  lo confunden. Algunos titulan así: “Encontrado el número primo más  grande”. No. Es el más grande conocido. Ya hace más de 2200 años Euclides demostró  en su obra Elementos que el conjunto de los números primos es infinito, por lo tanto no hay ninguno que sea el más grande.   Pero todo ello es normal, escriben para el público, en general, y entonces la precisión, la exactitud y el rigor brillan por su ausencia.

 

Ahí surge entonces Mersenne y sus números primos. Los legos se preguntan ¿Quién era? ¿Cuándo  y donde vivió? ¿Qué son los números de Mersenne? Pero ¿son todos primos? Vamos a intentar dar explicación a todo esto.

                      

Marin Mersenne (1588-1648) fue un monje francés dedicado a la Filosofía, las Matemáticas,  la Teología y la Música. De origen campesino estudió  en Le Mans donde frecuentó  la compañía de René Descartes. Esta amistad determinó  su dedicación a la Filosofía y las Matemáticas. Frecuentó la compañía de los jesuitas, pero sin ingresar en su sociedad religiosa, sin embargo fue miembro de  los Mínimos. Enseñó Filosofía y Teología e  ingresó en el convento de La Anunciación, donde se dedicó a estudiar Matemáticas y Música. Contactó  con los eruditos del momento, con Fermat, Galileo Galilei, Huygens, Descartes, entre otros muchos. A él se le deben  las primeras leyes de la acústica, que durante tiempo llevaron su nombre y publicó las obras de Euclides y de Arquímedes, entre otros matemáticos griegos. También hizo sus pinitos en la Física de manera notable: estudio de la intensidad del campo gravitatorio, telescopio con espejo parabólico, la  primera determinación  de la frecuencia de un sonido audible, el estudio del vacío o los planos del primer submarino(¡por supuesto no construido!),entre otros avances. Murió, en Paris,  como consecuencia de las complicaciones después de ser  intervenido quirúrgicamente.

El  documental de la BBC del principio de la entrada nos expone "El nacimiento de la Geometria moderna" y su impulsor M. Mersenne.

Pero a Mersenne lo hemos traído aquí por sus contribuciones  al progreso y avance  de las Matemáticas. En concreto, se le recuerda gracias a los números que llevan su nombre: los números de Mersenne. Pero ¿cuáles son? Por definición un número es de Mersenne si es una unidad inferior a una potencia de 2. Es decir   Pero es evidente que no todos los números de Mersenne son primos. Así vamos a llamar números primos de Mersenne  a números de Mersenne que son primos. En la sucesión podemos encontrar unos que son primos y otros no. Se sabe que  si M_p es primo, entonces p es primo. Lo contrario no es cierto, evidentemente.

M₁ = 2¹-1 = 1
M₂ = 2²-1 = 3
M₃ = 2³-1 = 7
M₄ = 2⁴-1 = 15(no primo)
M₅ = 2⁵-1 = 31

M₇ = 2⁷-1 = 127 (primo)
M₈ = 2⁸-1 = 255 (no primo)
M₉ = 2⁹-1 = 511 (no primo)
M₁₀ = 2¹⁰-1 = 1023 (no primo)
M₁₁ = 2¹¹-1 = 2047 (no primo)

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 Pero no sabemos  cuántos  son primos y cuántos no. Solamente  se conocen 48 que son primos, a los que denominamos M1, M2, M3,…..M48. ¿Y cuál es el M48? Es el que acaba de descubrirse. Tiene más de diecisiete millones de cifras. Exactamente 17 425 170 cifras.  

M_{57 885 161} = 2^{57 885 161}-1 = 58...diecisiete millones de cifras…51

 Pero tampoco hay seguridad de que entre el M42 y el M48 no se encuentren otros primos   entre los números de Mersenne, que aún no se hayan encontrado, como ha ocurrido en otras ocasiones. Por ejemplo el M29 fue encontrado posteriormente al M30 y al M31.

 

 El grupo GIMPS (Great Internet  Mersenne Prime Search, fundada en 1996) se ha dedicado a encontrar  números primos de Mersenne, y ha descubierto los últimos 14. El M48 ha sido encontrado, el pasado 25 de Enero,  por el profesor de la Universidad Central  de Missouri Dr.  Curtis Cooper y se necesitarían más de 4000 páginas A4 para poder imprimirlo.  Chris Caldwell tiene una web sobre  la historia de los números primos de Mersenne     y de los más grandes  números primos conocidos. 

 Los científicos-y los matemáticos entre ellos- se dedican, a veces, a tareas que no resuelven-ni quizás resolverán- problemas actuales o futuros. En este caso, salvo la encriptación,   no tiene mayor relevancia  matemática el encontrar números primos con tantas cifras; pero como al parecer se ofrecen 150 000$ (por la Electronic Frontier Foundation, EFF )  al que descubra un número primo con más de 100 millones de cifras, entretenerse con el reto no está nada mal. ¡Aunque llevaría bastante trabajo!  Seguro. AMJ