Matemolivares

Nuestra humilde manzana, la Malus domestica, es un prodigio matemático. Si hacemos  un corte transversal –solemos hacer el longitudinal para comérnosla- veremos que los receptáculos de las semillas forman una estrella de cinco puntas perfecta. ¡Cuántas manzanas nos hemos comido sin darnos cuenta lo que llevaba dentro! AMJ

Si cortamos transversalmente un Kaki(Caqui) Persimón (Diospyros kaki) obtenemos, en su interior,  una estrella de 8 puntas, casi perfecta. Son las diagonales de un octógono (cuasi)regular, que van de vértice a vértice opuesto. Un patrón especial en esta fruta de color anaranjado, delicioso sabor, de pulpa dura, que se puede pelar como una manzana. ¡Pídanla a su frutero: no se arrepentirán! AMJ

Este vídeo de la española Sara Merino Aceituno, estudiante del doctorado de Matemáticas en Cambridge, y del cineasta Sameer Patel, nos muestra los seguimientos de diferentes patrones en la Naturaleza, a diferentes escalas, la atómica y la escala observable. La explicación a estas similitudes sólo es posible por la matemática. AMJ

Extraordinario vídeo de innerworldsmovie.com  (Inner Worlds, Outer worlds) sobre patrones en la Naturaleza, su lenguaje secreto, las matemáticas y el arte. En inglés, pero pueden activar los subtítulos en español. AMJ

  Circunferencias concéntricas en la Naturaleza. De Olivier07 en Flickr. AMJ

(Booman floral en Flickr)

La Begonia Rex es una planta perenne, originaria de Asia. Son plantas de sombra o interior y entre ellas, una variedad insólita: la Escargot. Su peculiaridad es que sus hojas -aterciopeladas- crecen en espiral. Este patrón de crecimiento es muy raro en el mundo vegetal. En la mayoría de los casos en los que la espiral nos aparece en el mundo vegetal no lo hace en  la propia hoja, sino en el lugar del inicio  crecimiento de una sucesión de hojas -o flores- que van formando una espiral. Esta es la singularidad de nuestra planta: el crecimiento de la hoja es en espiral. Simplemente maravillosa.

Nuevamente observamos la Matemática -nuestra querida espiral- presente en la Naturaleza. De múltiples formas. Nosotros sólo tenemos que buscarla. AMJ

  (Foto de Adam en Flickr)

La Ipomoea o Morning Glory es el nombre que reciben cientos de plantas herbáceas trepadoras cuyas flores nacen y mueren cada día. Algunas semillas de estas plantas tienen efectos laxantes y otras tienen efectos nocivos para la salud, parecidos a los del LSD(alcaloide alucinógeno). En la foto pueden ver la estrella de 5 puntas dentro de un pentágono regular cuasiperfecto.   Con este nombre hay una canción de Oasis y una película de 2010  ¡¡Nuestros polígonos sueltos por esos jardines!! AMJ

Calotropis procera es un árbol de hoja perenne de unos 5 metros de altura, con una corteza parecida a la del alcornoque. Lo traemos aquí  por sus flores y lo que éstas contienen. El cáliz está dividido en 5 pétalos oval-triangulares y dentro encierra un disco nectarífero pentagonal -un pentágono regular en toda regla-, y en sus lados nacen 5 estambres, dando posterior lugar al fruto -manzana de Sodom-. Se distribuye por el Norte de África.

 Sin duda un descubrimiento alucinante. AMJ

Exactamente 10º. La circunferencia de 360º dividida en 36 sectores circulares iguales, de 10º cada uno. Un patrón natural del kiwi. En esta foto  se aprecian a la perfección. AMJ

Los hexágonos siguen sueltos en la naturaleza. Hoy traemos tres de ellos en el mundo microscópico. El primero de ellos se trata de una larva acuática con perla aérea- de Stratiomyidae, en una foto de Fabrice Parais:

La segunda se trata del ojo de una hormiga, en una foto de Noé Fram-Schwarz:

 Y la tercera se trata de  una fotografía de hierba,  de Microscopic Images :

Seguiremos sorprendiéndonos cada día al observar la naturaleza: las matemáticas están presentes en todos los rincones. A nosotros, como nos gusta tanto el hexágono, lo buscamos por todos lados. Y es verdad, está por todos lados, incluso en los más insospechados, como en las fotos que hoy hemos traído. AMJ

  De Izee by the Sea; en Flickr . AMJ

 (Foto en Flickr de Venu Gopal) Nunca había visto una tela de araña con esta espiral tan impecable. ¡Una artista que es ella...! AMJ

El Ranunculus es una genero de plantas -venenosas- que tiene casi 400 especies. Perennes, de flores blancas o amarillas -y otras rojas-, algunas anuales y otras bienales. Les traemos aquí una fotografía del polen de una de estas plantas. En esta foto podemos apreciar con nitidez el hexágono regular . Y como decimos por aquí, ¡¡¡el hexágono por todos lados!!!. Seguiremos informando. AMJ

 (Foto de Alexgphoto en Flickr). La naturaleza no deja de sorprender con patrones geométricos variados....AMJ

(Flickr, de Kew Gardens)

La cica espinosa, Encephalartos altensteinii, es una planta de las zonas costeras de Sudáfrica. Al igual que todas las cicas es de crecimiento lento. Los ejemplares femeninos producen conos que parecen piñas alargadas gigantes de unos 45 cms de longitud. En esta foto de Stephen Arnold en Flickr podemos observar la naturaleza geométrica de los frutos de esta planta: exquisitamente geométrica. AMJ

En las alas de esta Sympetrum Sanguineum-libélula flecha roja- (Foto de nicolas_gent)  se aprecian perfectamente polígonos regulares e irregulares de distintos números de lados. La geometría aparece en la Naturaleza constantemente... AMJ

  El anolis es un tipo de lagarto de América Central y el Caribe. En esta foto de Colin Hutton en Flickr pueden verse los polígonos formados en su piel. Busquen y encontrarán hexágonos regulares en su piel, aparte de todo tipo de polígonos regulares e irregulares. AMJ

O también este anolis verde, fotografía del mismo autor:

Traemos últimamente por este blog las apariciones del hexágono en la Naturaleza. Lo hemos hecho, fundamentalmente, en el reino animal. Hoy hemos cambiado. Nos venimos al reino vegetal. Concretamente a unas plantas de jardín –sombra- o de interior. Se trata de dos especies -casi tóxicas: ellas y sus frutos-. Una es la Alocasia –aquí llamada marquesa u oreja de elefante- y la Monstera deliciosa –también llamada Costilla de Adán-. Ambas se encuentran en los jardines españoles, y proceden de las selvas tropicales de América. 

 Muy bonitas pero nosotros las traemos aquí por su fruto.

 Ahí se encuentra lo que buscamos: el hexágono. En las fotografías que siguen pueden apreciarlo.

 Sin duda otra sorpresa que nos presenta la naturaleza y la geometría, para la cual no tenemos explicación. AMJ

Hexágonos regulares en el ojo de una Crisopa verde(Green lacewings)(Insecto artrópodo). Foto de Yousef Al Habshi. AMJ

Ojos de antlion(hormiga león). Foto de Yousef Al Habshi  AMJ

(Fotos de Boon Hong Seto, en Flickr)

En las alas de esta mosca dragón podemos ver cuadrados, triángulos, pentágonos, hexágonos, trapecios,... unos regulares y otros, no.

El diseño del centro de audiciones y conferencias  Harpa de Reykiavik, en Islandia parece "una copia" de esta decoración "alada". AMJ

  Un mero del grupo de los "hexagonales".Foto de borgesaleph en Flickr 

Hexagon rockcode(Epinephelus hexagonatus) Foto de Engel-Cox en Flickr

  Spilotoceps Epinephelus, de eunice khoo en Flickr

¡Este polígono es que está en cualquier sitio! AMJ

En esta microfotografía de Charles Krebs vemos que el hexágono sigue apareciendo por muchos sitios en la Naturaleza. En este caso se trata de la pata de un escarabajo, donde podemos ver el polígono regular en varios sitios de la teselación. AMJ

¡¡También las esferas alegran el mundo....!! De @PardueSuzanne  AMJ

Ya hemos dejado muestra de la presencia del hexágono en la Naturaleza. Teníamos una entrada: La Calzada del Gigante, monumento al prisma hexagonal, en Irlanda; que nos acercaba a este monumento natural, de columnas de basalto -prismas hexagonales- que provenían del enfriamiento de lava incandescente, que da lugar al basalto, creando esta maravilla natural. Hoy traemos una situación similar. Se trata de una piscina en Israel, Brehat HaMeshushim -la piscina de los hexágonos-, en los Altos del Golán, sobre el río Nahal Zvitan, que sigue unos patrones igual que los estudiados en la Calzada del Gigante. Sin duda la Naturaleza economiza: se solidifica con la mínima energía posible, formando un polígono, el más cercano a la forma redonda. ¡¡El hexágono presente por todos lados!! AMJ

Todo es una cuestión de economía. Para eso estaba el hexágono, y como la Naturaleza es sabia lo utiliza para "economizar". Ahora se trata de la cola de caballo: el "equisetum arvense". (Fotos de Flickr). AMJ

Hemos estudiado ya, en este blog, la presencia del hexágono en la Naturaleza en varias ocasiones: Ya sabíamos que las abejas utilizaban el panal -teselado en hexágonos- para almacenar la miel. Hoy traemos aquí a otras parientes suyas, pero en plan negativo. Éstas no da miel. Dan picaduras. Son las avispas. Construyen sus nidos, utilizando madera -más bien papel- y fabrican estas celdas perfectas: son prismas hexagonales perfectos, formando en ocasiones conjuntos geodésicos -casi una esfera-  ¡¡Sin duda una obra de arquitectura superior!! AMJ

 Ésta corresponde al huevo de una mariposa búho. 

(Cethosia biblis, mariposa roja)

En todas ellas vemos teselaciones , que ya hemos tratado en este blog. El Hexágono. en algunos casos irregular, está presente en la naturaleza, en más ocasiones que parece. Sólo hay que buscarlo. Algunas veces con microscopio, pero ahí está.

(Fotos de National Geographic). AMJ

Hemos estudiado en varias ocasiones la presencia del hexágono en la naturaleza(Matemolivares 1 y Matemolivares 2). Hoy lo traemos en insectos corrientes. El ojo  de muchos de ellos presenta una teselación hexagonal, con la curvatura apropiada para hacerlo lo más eficiente posible. Los abejorros, libélulas, moscas o mosquitos, avispas,…entre otros, presentan esta particularidad. Vean en estas microfotografías la grandeza –no coincidencia- de la geometría y la Naturaleza.

 
(Ojos compuestos -más de 4000 facetas- de una mosca)

 
(Ojos compuestos de una avispa)

(Ojo de una polilla: ha inspirado la creación de paneles solares optimizados)

(Fotomicrografía del ojo de una libélula)

La matemática está ahí y explica el mundo. Sólo hay que encontrarla y descifrarla. Otros piensan que el hombre ha creado el entramado matemático y la Naturaleza ha dado el ejemplo apropiado. De cualquier forma: sorprendente. AMJ

Incluso algunas espirales están relacionadas con la música:

Están en la Naturaleza, sólo hace falta que las encontremos. Visto en twitter de SuzannePardue. AMJ

 Ya habíamos traído por aquí un monumento natural (Calzada del Gigante, en Irlanda) en el que apreciábamos cómo unas columnas hexagonales de basalto llenaban el plano; ver la fotografía:

También sabíamos que las abejas construían sus colmenas, superponiendo celdas hexagonales. Pero hoy traemos la teselación hexagonal sin influencia de la mano del hombre.

 Se trata de una pulga de agua, que en una foto de Rogelio Moreno( cortesía de @ziyatong ) en la que puede apreciarse la teselación hexagonal en su cuerpo: ¿la naturaleza estará escrita en lenguaje matemático, tal como algunos afirman?

En estas otras fotos (Flickr, Proyecto agua 1 y 2), de cien aumentos, también puede apreciarse, igualmente, la teselación:

De cualquier forma: asombroso y excitante. AMJ

Diariamente vemos aves, en distintas formaciones,  pasar encima de nuestras cabezas. Por aquí son todas aquellas que se dirigen al Coto de Doñana. Algunas de ellas, como los flamencos de la Laguna Fuente de Piedra,en Málaga, se desplazan hasta la provincia de Huelva, diariamente, para alimentarse en las marismas. Y claro acuden en una formación adecuada a su porte y fortaleza. 

 Pero, claro, la pregunta es, las aves migratorias que tienen que recorrer miles de kilómetros hasta llegar a sus destinos, ¿cómo economizan energía? Esa es la pregunta que tratan de resolver en un estudio publicado en la revista Nature  . Se sabe que la formación de las aves sigue unas pautas precisas, un mecanismo inteligente que les lleva a soportar jornadas extenuantes, en las que se juegan la vida. Un ejemplo claro en el deporte es en el ciclismo. En las jornadas de viento –o incluso en una cualquiera- la disposición de los ciclistas detrás del que ocupa el primer lugar les hace que el pedaleo y el esfuerzo, por consiguiente, sea mucho menor. Basta  que se vayan intercambiando para que el esfuerzo sea compartido. De otra forma es prácticamente imposible hacer esas jornadas maratonianas.

Pero las aves lo tienen peor, porque tiene que batir las alas para avanzar y ello han de hacerlo de una forma acompasada para que el aire fluya entre ellos. La Física –la Aerodinámica, más bien- sentencia que si tod ello lo hacen con ajustes precisos, la energía que ahorran es mucha. Como todo en la vida, también estas teorías tienen sus detractores; pero un equipo del Royal Veterinary College de Londres, dirigido por Steve Portugal,  sostiene y prueba que las aves están hechas ¡¡unas matemáticas de cuidado!!: optimizan el aleteo, precisan su posición y acompasan su cadencia y frecuencia para ser más eficientes en el ahorro de energía.

Cuando un pájaro vuela crea unas turbulencias, que el que le sigue debe evitar y sincronizar sus batidos de las alas  para aprovechar el flujo inducido y lograr así la eficiencia (ventaja) aerodinámica y el consecuente ahorro de energía(Ver una exposición muy detallada de este efecto en aves y aviones en Naukas:  Por qué vuelan las aves en formación en V). Decimos que lo han probado pues el estudio realizado en el Ibis calvo del norte, criado en cautividad- en este caso en Viena-, a los que le han colocado GPS para seguir sus movimientos y les han enseñado las rutas migratorias utilizando ultraligeros, les han medido las distancias entre ellos, las frecuencias de sus aleteos, etc.

Por todo ello el estudio, en tiempo real, aporta unos datos de mucha fiabilidad, además de certificar que las aves tienen una capacidad, llamaríamosle superior, de sentir  las turbulencias del aire creadas por sus compañeros de vuelo y “usarlas” para ahorro de energía propia. Los patrones de vuelo son más complejos que los que se suponían hasta ahora; el registro de todos sus movimientos “en directo” ha permitido demostrar esta capacidad innata de las aves. O tal vez el Ibis- y otras aves- tiene esa capacidad matemática –competencia, diría yo- para efectuar todo ello con la precisión y minuciosidad requerida. Terminemos con el vídeo de los científicos –padres del estudio- explicándonos todo el proceso.

 Desde luego que todos los días conocemos algo nuevo, y las matemáticas por medio. AMJ

  

      

 Simetrías en la Naturaleza, de Flickr. Diciembre 2013.AMJ

Conocíamos muchas maravillas de la naturaleza, pero como nuestra capacidad de asombro es ilimitada, hoy nos hemos quedado fascinados  al ver estas imágenes en  el blog  apprendre-en-ligne.net. Se trata de la Calzada del Gigante. Aparte de la “explicación mitológica” o leyenda celta, que la población irlandesa asigna a este hecho, la verdad es que es una maravilla, que parece creada por no sabemos que manos… pero parece hecha con exactitud y minuciosidad artesanas. Se encuentra en el Condado de Antrim en Irlanda del Norte, descubierta en 1693 y Patrimonio de la Humanidad desde 1986. Ver más en Wikipedia,  ireland.com o giantscausewayofficialguide.com .

Pero ¿de qué se trata? Son aproximadamente unas 40000 columnas hexagonales (prismas) de basalto provenientes del enfriamiento rápido de la lava de un cráter, hace aproximadamente  60 millones de años. El proceso es el siguiente: de Wikipedia “la lava incandescente en una chimenea volcánica o en una colada puede llegar a enfriarse in situ cuando el volcán o caldera cesan en su actividad eruptiva. Este enfriamiento da origen a la formación de basalto, que es una roca cristalina, aunque con cristales sumamente pequeños debido a que su enfriamiento fue muy rápido y con una presión mucho más débil que la que soportan las rocas ígneas que dan lugar a la formación de granito a mayores profundidades: de hecho, el basalto se va formando en la superficie de la lava en el cráter o caldera y va progresando en profundidad. A medida que el basalto va formándose disminuye su volumen y se forman prismas generalmente hexagonales cuya separación compensa la disminución de su volumen (disyunción columnar). Posteriormente, la erosión actúa primero sobre las rocas de los alrededores debido a que el basalto es mucho más resistente, quedando al descubierto dichas columnas”.

 Sabíamos que las teselaciones hexagonales llenaban el plano, las celdas de las colmenas eran, igualmente, hexagonales,… pero no habíamos visto nada igual (¡¡sin la mano del hombre!!). Además la cabeza de la calzada presenta superficies convexas o cóncavas, según zonas   E igualmente nos extraña que su descubrimiento no se produjese hasta el siglo XVII. Les dejamos con las imágenes del delirio, o de la magia !!!! AMJ

Ya sabíamos de la relación de las Matemáticas con la Naturaleza. La sucesión de Fibonacci está presente en muchas situaciones, igualmente el número áureo, pero no sabíamos que en la Botánica, vamos las plantas, eran tan “matemáticas” ellas. Pues sí. Parece ser que tienen especiales dotes para la materia. Se ponen a hacer sus cuentas y vaya que les salen. Cogen su calculadora interna, y como si fueran pilotos de Fórmula 1, se ponen a ahorrar. ¿Qué ahorran? De eso trata el estudio del Centro John Innes en  Norfolk: Las plantas ahorran almidón. Pero, ¿cómo? Al parecer realizan algún tipo de operaciones aritméticas, en concreto la división, con lo que ahorran energía, almidón. El trabajo de Martin Howard y Alison Smith prueba que las plantas toman las cantidades de azúcar de una manera equilibrada. La controversia surge porque algunos creen si realmente son operaciones matemáticas o reacciones genéticoinstintivas. Lo cierto es que lo hacen. Los científicos ingleses están convencidos, y lo prueban, de que es cierto. Pero ya saben que en esto de la Ciencia es necesario pasar por el “comité de sabios”.

Las plantas necesitan realizar la fotosíntesis para transformar sus recursos, que son limitados. Pero para ello es necesaria la colaboración del Sol, y éste no está siempre disponible. Por ello si la planta se queda sin azúcares o almidón, ella sabe que tiene un problema grave. Conclusión: tiene que regularse. Y eso es lo que hace.

 Las pruebas se han hecho con la planta Arabidopsis, pero seguro que vendrán más. El reloj corporal o biológico de la planta regula la cantidad de almidón que tiene, las horas que faltan para que amanezca y la división entre estas cantidades hace que consuma el 95% hasta el amanecer, repartido entre el número de horas. Los investigadores decidieron alterar todo esto: le hicieron “trampas de todos los colores” cambiándole todos las condiciones y los ritmos de luz, pero la planta seguía adaptándose. Parece que es la primera prueba del cálculo aritmético botánico. Veremos más. 

Más noticias en ABC, Neoteo y BBC news. AMJ

Después de un invierno lluvioso y una primavera calurosa la floración es espectacular. La Amaryllis hippeastrum también florece espectacularmente. Una de las mas esbeltas y bonitas que conozco, que llena los jardines de color y armonía. Aquí en Andalucía se le conoce también con el nombre de la suegra y la nuera –por aquello de las contrariedades que existen entre ellas-. Sí. Parecen contrarias todas ellas. Podríamos decir que forman figuras que son opuestas dos a dos por los vértices. La abstracción, ya saben, es la madre de las matemáticas y en estas flores vemos dos parejas de hiperboloides de dos hojas, y por supuesto, opuestas, dos a dos, por el vértice. La foto y la planta son del autor del blog. Abajo le dejamos el mencionado hiperboloide.

Como ven, belleza y matemáticas van unidas. O así lo vemos y creemos por aquí. AMJ

¡En el Sur es tiempo de caracoles!. No hay bar de Sevilla que no ofrezca una buena tapa de caracoles, cabrillas,... cocinados de mil maneras distintas y apetecibles todas.También en otras comunidades españolas, como la valenciana y catalana  son una exquisitez(como la variedad vaqueta, muy buscada y cara). Rebuscando por ahí nos encontramos que los caracoles(escargots para nuestros amigos franceses, también muy apreciados por ellos) presentan alguna propiedad matemática muy interesante: su concha forma una espiral logarítmica:

Incluso la pueden presentar en forma  esférica o alargada y cónica, que es debida a la tasa de crecimiento, ya que el volumen disponible para el cuerpo se maximiza(globo) o minimiza(forma cónica)  debido, fundamentalmente, a su alimentación:

 Pero siguiendo husmeando por ahí nos encontramos con el blog Images des Mathématiques en el que aparece una entrada sobre los caracoles. Pero ahora no se trata de un estudio sobre una especie(terrestre o marina), un tipo, su sentido de giro de la concha(dextrógiro o levógiro)... sino que entre los caracoles de los setos y jardines, en Francia, sus conchas están "decoradas".¡Y muy bien que lo están! De tal manera que es difícil encontrar iguales. Así los especialistas pueden distinguir entre 32 y 300 especies "decoradas distintas":

Los distintos tipos de bandas de decoración, por grosor y alineación dan lugar a esta tabla:

Todo ello de la revista La Hulotte, francesa.(Y el artículo de los caracoles, aquí, y si mezclamos colores y "decorados" hay más de 17.000 "trajes diferentes"). No sabíamos que podía haber tantos tipos distintos. ¡La verdad es que no pensamos tanto ante una tapa(plato) de caracoles! ¡Faltaría más! En ocasiones los matemáticos nos complicamos la vida intentando explicar lo que la naturaleza nos presenta, pero la mayoría de las veces  disfrutamos de ella, en este caso de los caracoles, que a algunos nos gustan.

Terminamos con un poco de humor de este humilde autor.AMJ

El Cornus Kousa es conocido en España como el Cornejo Japonés. Es un arbusto con una floración extraordinaria y con un fruto comestible pero no demasiado apetecible. Traemos aquí esta foto de  Julian Fleron de FoundsMaths MAA en la que podemos observar la perfección de los hexágonos que conforman su fruto, conocidos como drupas.Estos frutos cuelgan ,en racimos, a lo largo de un pedúnculo.(También aunque matemático es uno muy aficionado a la Botánica y a la jardinería).AMJ

En estas fotografías aéreas de Doñana las Matemáticas se acercan a la realidad: parecen fractales pero en realidad no lo son. AMJ

Excepcional video, de Cristobal Vila, sobre la sucesión de Fibonacci. AMJ